நேரியல் சமன்பாடுகளின் இருபடி ஒரே மாதிரியான அமைப்பு. அடிப்படை முடிவு அமைப்பு (குறிப்பிட்ட உதாரணம்). காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் (SLAEs) அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி நேரியல் இயற்கணித பாடத்தில் மிக முக்கியமான தலைப்பு. கணிதத்தின் அனைத்து பிரிவுகளிலிருந்தும் ஏராளமான சிக்கல்கள் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும். இந்தக் காரணிகள் இந்தக் கட்டுரைக்கான காரணத்தை விளக்குகின்றன. கட்டுரையின் பொருள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் உதவியுடன் உங்களால் முடியும்

• உங்கள் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான உகந்த முறையைத் தேர்வு செய்யவும்,
• தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட முறையின் கோட்பாட்டைப் படிக்கவும்,
• வழக்கமான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களுக்கான விரிவான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொண்டு உங்கள் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

கட்டுரையின் பொருளின் சுருக்கமான விளக்கம்.

முதலில், தேவையான அனைத்து வரையறைகள், கருத்துகள் மற்றும் குறியீடுகளை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.

அடுத்து, நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், இதில் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும் மற்றும் தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. முதலாவதாக, நாம் க்ரேமரின் முறைக்கு கவனம் செலுத்துவோம், இரண்டாவதாக, அத்தகைய சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான மேட்ரிக்ஸ் முறையைக் காண்பிப்போம், மூன்றாவதாக, காஸ் முறையை பகுப்பாய்வு செய்வோம் (தெரியாத மாறிகளை வரிசையாக நீக்கும் முறை). கோட்பாட்டை ஒருங்கிணைக்க, நாங்கள் நிச்சயமாக பல SLAEகளை வெவ்வேறு வழிகளில் தீர்ப்போம்.

இதற்குப் பிறகு, பொதுவான வடிவத்தின் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் தீர்வு அமைப்புகளுக்குச் செல்வோம், இதில் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கையுடன் ஒத்துப்போவதில்லை அல்லது அமைப்பின் முக்கிய அணி ஒருமையாகும். க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றத்தை உருவாக்குவோம், இது SLAEகளின் இணக்கத்தன்மையை நிறுவ அனுமதிக்கிறது. ஒரு மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படை மைனர் என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி அமைப்புகளின் தீர்வை (அவை இணக்கமாக இருந்தால்) பகுப்பாய்வு செய்வோம். காஸ் முறையை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளை விரிவாக விவரிப்போம்.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புகளின் பொதுவான தீர்வின் கட்டமைப்பில் நாம் நிச்சயமாக வாழ்வோம். தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பின் கருத்தை வழங்குவோம் மற்றும் தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பின் திசையன்களைப் பயன்படுத்தி SLAE இன் பொதுவான தீர்வு எவ்வாறு எழுதப்படுகிறது என்பதைக் காண்பிப்போம். சிறந்த புரிதலுக்கு, சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

முடிவில், நேரியல் ஒன்றுக்குக் குறைக்கக்கூடிய சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளையும், SLAEகள் எழும் தீர்வுகளில் பல்வேறு சிக்கல்களையும் நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

வரையறைகள், கருத்துக்கள், பதவிகள்.

படிவத்தின் n அறியப்படாத மாறிகள் (p n க்கு சமமாக இருக்கலாம்) கொண்ட p நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

அறியப்படாத மாறிகள், - குணகங்கள் (சில உண்மையான அல்லது சிக்கலான எண்கள்), - இலவச சொற்கள் (உண்மையான அல்லது சிக்கலான எண்களும்).

இந்த பதிவு SLAE எனப்படும் ஒருங்கிணைக்க.

IN அணி வடிவம்சமன்பாடுகளின் இந்த அமைப்பை எழுதும் வடிவம் உள்ளது,
எங்கே - கணினியின் முக்கிய அணி, - அறியப்படாத மாறிகளின் நெடுவரிசை அணி, - இலவச சொற்களின் நெடுவரிசை அணி.

இலவச சொற்களின் அணி-நெடுவரிசையை மேட்ரிக்ஸ் A உடன் (n+1)வது நெடுவரிசையாகச் சேர்த்தால், நாம் அழைக்கப்படும் நீட்டிக்கப்பட்ட அணிநேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள். பொதுவாக, நீட்டிக்கப்பட்ட அணி T என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் இலவச சொற்களின் நெடுவரிசை மீதமுள்ள நெடுவரிசைகளிலிருந்து செங்குத்து கோட்டால் பிரிக்கப்படுகிறது, அதாவது,

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதுகணினியின் அனைத்து சமன்பாடுகளையும் அடையாளங்களாக மாற்றும் அறியப்படாத மாறிகளின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அறியப்படாத மாறிகளின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கான மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாடும் ஒரு அடையாளமாகிறது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வு இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது கூட்டு.

சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு தீர்வுகள் இல்லை என்றால், அது அழைக்கப்படுகிறது கூட்டு அல்லாத.

ஒரு SLAE ஒரு தனித்துவமான தீர்வு இருந்தால், அது அழைக்கப்படுகிறது உறுதி; ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தீர்வுகள் இருந்தால் - நிச்சயமற்ற.

கணினியின் அனைத்து சமன்பாடுகளின் இலவச விதிமுறைகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் , பின்னர் அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது ஒரேவிதமான, இல்லையெனில் - பன்முகத்தன்மை கொண்ட.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அடிப்படை அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது.

ஒரு அமைப்பின் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால் மற்றும் அதன் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், அத்தகைய SLAEகள் அழைக்கப்படும் ஆரம்பநிலை. சமன்பாடுகளின் இத்தகைய அமைப்புகள் ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் ஒரே மாதிரியான அமைப்பில், அனைத்து அறியப்படாத மாறிகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

உயர்நிலைப் பள்ளியில் அத்தகைய SLAE களைப் படிக்கத் தொடங்கினோம். அவற்றைத் தீர்க்கும் போது, ​​ஒரு சமன்பாட்டை எடுத்து, ஒரு அறியப்படாத மாறியை மற்றவற்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தி, மீதமுள்ள சமன்பாடுகளில் அதை மாற்றினோம், பின்னர் அடுத்த சமன்பாட்டை எடுத்து, அடுத்த அறியப்படாத மாறியை வெளிப்படுத்தி மற்ற சமன்பாடுகளில் மாற்றினோம். அல்லது அவர்கள் கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தினர், அதாவது அறியப்படாத சில மாறிகளை அகற்ற இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சமன்பாடுகளைச் சேர்த்தனர். இந்த முறைகள் அடிப்படையில் காஸ் முறையின் மாற்றங்களாக இருப்பதால், இந்த முறைகளை நாங்கள் விரிவாகப் பேச மாட்டோம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அடிப்படை அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய முறைகள் க்ரேமர் முறை, மேட்ரிக்ஸ் முறை மற்றும் காஸ் முறை. அவற்றை வரிசைப்படுத்துவோம்.

க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்

இதில் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் மற்றும் அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, அதாவது, .

அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவராக இருக்கட்டும், மற்றும் - மாற்றீடு மூலம் A இலிருந்து பெறப்படும் மெட்ரிக்குகளின் தீர்மானிப்பான்கள் 1வது, 2வது, ..., வதுஇலவச உறுப்பினர்களின் நெடுவரிசைக்கு முறையே நெடுவரிசை:

இந்த குறியீட்டுடன், அறியப்படாத மாறிகள் க்ரேமர் முறையின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன . க்ரேமர்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான தீர்வு இப்படித்தான் கண்டறியப்படுகிறது.

உதாரணமாக.

க்ரேமர் முறை .

தீர்வு.

அமைப்பின் முக்கிய அணி வடிவம் உள்ளது . அதன் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம் (தேவைப்பட்டால், கட்டுரையைப் பார்க்கவும்):

கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருப்பதால், கணினியானது க்ரேமரின் முறையால் கண்டுபிடிக்கக்கூடிய தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது.

தேவையான தீர்மானங்களை உருவாக்கி கணக்கிடுவோம் (மேட்ரிக்ஸ் A இல் உள்ள முதல் நெடுவரிசையை இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசையுடன் மாற்றுவதன் மூலமும், இரண்டாவது நெடுவரிசையை இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசையுடன் மாற்றுவதன் மூலமும், மற்றும் அணி A இன் மூன்றாவது நெடுவரிசையை இலவச விதிமுறைகளின் நெடுவரிசையுடன் மாற்றுவதன் மூலமும் தீர்மானிப்பதைப் பெறுகிறோம்) :

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அறியப்படாத மாறிகளைக் கண்டறிதல் :

பதில்:

க்ரேமர் முறையின் முக்கிய தீமை (அது ஒரு தீமை என்று அழைக்கப்பட்டால்) அமைப்பில் உள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை மூன்றுக்கு மேல் இருக்கும்போது தீர்மானிப்பவர்களைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கலானது.

மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி (தலைகீழ் அணியைப் பயன்படுத்தி) நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பை அணி வடிவத்தில் கொடுக்கலாம், இதில் அணி A ஆனது n ஆல் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அதன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கும்.

, அணி A தலைகீழானது, அதாவது தலைகீழ் அணி உள்ளது. சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் இடதுபுறமாகப் பெருக்கினால், தெரியாத மாறிகளின் மேட்ரிக்ஸ்-நெடுவரிசையைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம். மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான தீர்வை இப்படித்தான் பெற்றோம்.

உதாரணமாக.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் அணி முறை.

தீர்வு.

மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்:

ஏனெனில்

மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி SLAE ஐ தீர்க்க முடியும். தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி, இந்த அமைப்பிற்கான தீர்வைக் காணலாம் .

அணி A இன் தனிமங்களின் இயற்கணிதக் கூட்டல்களிலிருந்து அணியைப் பயன்படுத்தி ஒரு தலைகீழ் அணியை உருவாக்குவோம் (தேவைப்பட்டால், கட்டுரையைப் பார்க்கவும்):

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைப் பெருக்குவதன் மூலம் அறியப்படாத மாறிகளின் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிட இது உள்ளது இலவச உறுப்பினர்களின் மேட்ரிக்ஸ்-நெடுவரிசைக்கு (தேவைப்பட்டால், கட்டுரையைப் பார்க்கவும்):

பதில்:

அல்லது மற்றொரு குறிப்பில் x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு தீர்வுகளைக் கண்டறிவதில் முக்கிய சிக்கல் தலைகீழ் அணியைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலானது, குறிப்பாக மூன்றை விட அதிகமான வரிசையின் சதுர மெட்ரிக்குகளுக்கு.

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது.

n அறியப்படாத மாறிகள் கொண்ட n நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கு நாம் தீர்வு காண வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான்.

காஸ் முறையின் சாராம்சம்அறியப்படாத மாறிகளின் வரிசைமுறை விலக்கலைக் கொண்டுள்ளது: முதலில், x 1 ஆனது கணினியின் அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, பின்னர் x 2 அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும், மூன்றில் இருந்து தொடங்கி, மற்றும் பல, அறியப்படாத மாறி x n வரை மட்டுமே. கடைசி சமன்பாட்டில் உள்ளது. அறியப்படாத மாறிகளை வரிசையாக அகற்ற ஒரு அமைப்பின் சமன்பாடுகளை மாற்றும் இந்த செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது நேரடி காசியன் முறை. காஸியன் முறையின் முன்னோக்கு பக்கவாதத்தை முடித்த பிறகு, கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து x n கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, இறுதி சமன்பாட்டிலிருந்து இந்த மதிப்பைப் பயன்படுத்தி, x n-1 கணக்கிடப்படுகிறது, மேலும் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து x 1 கண்டறியப்படுகிறது. கணினியின் கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் சமன்பாட்டிற்கு நகரும் போது அறியப்படாத மாறிகளைக் கணக்கிடும் செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது காசியன் முறையின் தலைகீழ்.

அறியப்படாத மாறிகளை நீக்குவதற்கான அல்காரிதத்தை சுருக்கமாக விவரிப்போம்.

அமைப்பின் சமன்பாடுகளை மறுசீரமைப்பதன் மூலம் இதை எப்போதும் அடைய முடியும் என்பதால், என்று கருதுவோம். கணினியின் அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும் அறியப்படாத மாறி x 1 ஐ அகற்றுவோம், இரண்டாவது தொடங்கி. இதைச் செய்ய, கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் முதல், பெருக்கல், மூன்றாவது சமன்பாட்டிற்கு, முதல், பெருக்கல், மற்றும் பல, n வது சமன்பாட்டில் முதல், பெருக்கல் ஆகியவற்றைச் சேர்க்கிறோம். அத்தகைய மாற்றங்களுக்குப் பிறகு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு வடிவம் எடுக்கும்

எங்கே மற்றும் .

கணினியின் முதல் சமன்பாட்டில் மற்ற அறியப்படாத மாறிகளின் அடிப்படையில் x 1 ஐ வெளிப்படுத்தியிருந்தால், அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை மற்ற எல்லா சமன்பாடுகளிலும் மாற்றியிருந்தால் அதே முடிவை அடைந்திருப்போம். எனவே, x 1 என்ற மாறியானது அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும், இரண்டாவதாகத் தொடங்கும்.

அடுத்து, நாங்கள் இதேபோன்ற வழியில் செல்கிறோம், ஆனால் விளைந்த அமைப்பின் ஒரு பகுதியுடன் மட்டுமே, இது படத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளது

இதைச் செய்ய, கணினியின் மூன்றாவது சமன்பாட்டில் இரண்டாவதாக, பெருக்கி , நான்காவது சமன்பாட்டில் இரண்டாவதாக, பெருக்கி , மற்றும் பல, n வது சமன்பாட்டில் இரண்டாவதாக, பெருக்கி . அத்தகைய மாற்றங்களுக்குப் பிறகு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு வடிவம் எடுக்கும்

எங்கே மற்றும் . எனவே, x 2 மாறியானது, மூன்றில் இருந்து தொடங்கி அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும் விலக்கப்படுகிறது.

அடுத்து, அறியப்படாத x 3 ஐ நீக்குவதற்குச் செல்கிறோம், மேலும் படத்தில் குறிக்கப்பட்ட அமைப்பின் பகுதியுடன் இதேபோல் செயல்படுகிறோம்.

எனவே கணினி வடிவத்தை எடுக்கும் வரை காஸியன் முறையின் நேரடி முன்னேற்றத்தைத் தொடர்கிறோம்

இந்த தருணத்திலிருந்து நாம் காஸியன் முறையின் தலைகீழாகத் தொடங்குகிறோம்: கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து x n ஐக் கணக்கிடுகிறோம், x n இன் பெறப்பட்ட மதிப்பைப் பயன்படுத்தி இறுதி சமன்பாட்டிலிருந்து x n-1 ஐக் காண்கிறோம், மேலும் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து x 1 ஐக் காண்கிறோம். .

உதாரணமாக.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் காஸ் முறை.

தீர்வு.

கணினியின் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளிலிருந்து அறியப்படாத மாறி x 1 ஐ விலக்குவோம். இதைச் செய்ய, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளின் இருபுறமும் முதல் சமன்பாட்டின் தொடர்புடைய பகுதிகளைச் சேர்ப்போம், முறையே பெருக்கப்படுகிறது:

இப்போது நாம் மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து x 2 ஐ நீக்குகிறோம், அதன் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெருக்கப்படுகிறது:

இது காஸ் முறையின் முன்னோக்கி பக்கவாதத்தை நிறைவு செய்கிறது;

விளைவான சமன்பாடுகளின் கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் x 3 ஐக் காண்கிறோம்:

இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்.

முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து, மீதமுள்ள அறியப்படாத மாறியைக் கண்டுபிடித்து அதன் மூலம் காஸ் முறையின் தலைகீழ் முறையை முடிக்கிறோம்.

பதில்:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

பொது வடிவத்தின் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் தீர்வு அமைப்புகள்.

பொதுவாக, கணினி p இன் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கை n உடன் ஒத்துப்போவதில்லை:

அத்தகைய SLAE களுக்கு தீர்வுகள் இல்லாமல் இருக்கலாம், ஒரே தீர்வு இருக்கலாம் அல்லது எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருக்கலாம். இந்த அறிக்கை சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கும் பொருந்தும், அதன் முக்கிய அணி சதுரம் மற்றும் ஒருமை ஆகும்.

குரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு முன், அதன் பொருந்தக்கூடிய தன்மையை நிறுவுவது அவசியம். SLAE எப்போது இணக்கமாக இருக்கும் மற்றும் எப்போது சீரற்றதாக இருக்கும் என்ற கேள்விக்கான பதில் அளிக்கப்படுகிறது குரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றம்:
n அறியப்படாத (p n க்கு சமமாக இருக்கலாம்) கொண்ட p சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சீரானதாக இருக்க, அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. , ரேங்க்(A)=Rank(T).

எடுத்துக்காட்டாக, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் பொருந்தக்கூடிய தன்மையைத் தீர்மானிக்க க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றத்தின் பயன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணமாக.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளதா என்பதைக் கண்டறியவும் தீர்வுகள்.

தீர்வு.

. சிறார்களை எல்லைக்குட்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். இரண்டாவது வரிசையில் சிறியது பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. அதன் எல்லையில் உள்ள மூன்றாம் வரிசை சிறார்களைப் பார்ப்போம்:

மூன்றாவது வரிசையின் அனைத்து எல்லை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை இரண்டுக்கு சமம்.

இதையொட்டி, நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மைனர் மூன்றாவது வரிசையில் இருப்பதால், மூன்றுக்கு சமம்

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது.

இதனால், Rang(A), எனவே, Kronecker-Capelli தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்பு சீரற்றது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்.

பதில்:

அமைப்புக்கு தீர்வுகள் இல்லை.

எனவே, க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு அமைப்பின் சீரற்ற தன்மையை நிறுவ கற்றுக்கொண்டோம்.

ஆனால் அதன் இணக்கத்தன்மை நிறுவப்பட்டால், SLAE க்கு ஒரு தீர்வை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

இதைச் செய்ய, ஒரு மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படை மைனர் மற்றும் மேட்ரிக்ஸின் தரத்தைப் பற்றிய ஒரு தேற்றம் நமக்குத் தேவை.

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட அணி A இன் மிக உயர்ந்த வரிசையின் சிறியது அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படை.

அடிப்படை மைனரின் வரையறையிலிருந்து அதன் வரிசை மேட்ரிக்ஸின் ரேங்கிற்கு சமமாக இருக்கும். பூஜ்ஜியம் அல்லாத அணி A க்கு பல அடிப்படை மைனர்கள் இருக்க முடியும்;

எடுத்துக்காட்டாக, மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள் .

இந்த மேட்ரிக்ஸின் மூன்றாம் வரிசை மைனர்கள் அனைத்தும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், ஏனெனில் இந்த மேட்ரிக்ஸின் மூன்றாவது வரிசையின் கூறுகள் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசைகளின் தொடர்புடைய உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

பின்வரும் இரண்டாம் வரிசை மைனர்கள் அடிப்படையானவை, ஏனெனில் அவை பூஜ்ஜியம் அல்ல

சிறார் அவை அடிப்படை அல்ல, ஏனெனில் அவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

மேட்ரிக்ஸ் ரேங்க் தேற்றம்.

n ஆல் p வரிசையின் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை r க்கு சமமாக இருந்தால், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அடிப்படை மைனரை உருவாக்காத மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து வரிசை (மற்றும் நெடுவரிசை) கூறுகளும் தொடர்புடைய வரிசை (மற்றும் நெடுவரிசை) உறுப்புகளை உருவாக்கும் அடிப்படையில் நேர்கோட்டில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. அடிப்படை சிறியது.

மேட்ரிக்ஸ் ரேங்க் தேற்றம் நமக்கு என்ன சொல்கிறது?

க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றத்தின்படி, கணினியின் இணக்கத்தன்மையை நாங்கள் நிறுவியிருந்தால், கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் சிறிய அடிப்படையை (அதன் வரிசையானது r க்கு சமம்) தேர்வுசெய்து, அந்த அமைப்பிலிருந்து அனைத்து சமன்பாடுகளையும் விலக்குவோம். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அடிப்படையை சிறியதாக உருவாக்கவில்லை. இந்த வழியில் பெறப்பட்ட SLAE அசல் ஒன்றிற்கு சமமாக இருக்கும், ஏனெனில் நிராகரிக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள் இன்னும் தேவையற்றதாக இருக்கும் (மேட்ரிக்ஸ் ரேங்க் தேற்றத்தின்படி, அவை மீதமுள்ள சமன்பாடுகளின் நேரியல் கலவையாகும்).

இதன் விளைவாக, கணினியின் தேவையற்ற சமன்பாடுகளை நிராகரித்த பிறகு, இரண்டு வழக்குகள் சாத்தியமாகும்.

விளைந்த அமைப்பில் உள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை r அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால், அது திட்டவட்டமாக இருக்கும் மற்றும் ஒரே தீர்வை க்ரேமர் முறை, மேட்ரிக்ஸ் முறை அல்லது காஸ் முறை மூலம் காணலாம்.

உதாரணமாக.

.

தீர்வு.

அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மைனர் இரண்டாவது வரிசையில் இருப்பதால், இரண்டுக்கு சமம் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை ஒரே மூன்றாவது வரிசை மைனர் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், இரண்டிற்கும் சமம்

மேலும் மேலே கருதப்பட்ட இரண்டாவது-வரிசை மைனர் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. Kronecker-Capelli தேற்றத்தின் அடிப்படையில், ரேங்க்(A)=Rank(T)=2 என்பதால், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்பின் இணக்கத்தன்மையை நாம் உறுதிப்படுத்தலாம்.

சிறிய அடிப்படையாக நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம் . இது முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளின் குணகங்களால் உருவாகிறது:


அமைப்பின் மூன்றாவது சமன்பாடு சிறிய அடிப்படையை உருவாக்குவதில் பங்கேற்காது, எனவே மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையில் உள்ள தேற்றத்தின் அடிப்படையில் அமைப்பிலிருந்து அதை விலக்குகிறோம்:


இப்படித்தான் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அடிப்படை அமைப்பைப் பெற்றோம். க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்ப்போம்:


பதில்:

x 1 = 1, x 2 = 2.

இதன் விளைவாக வரும் SLAE இல் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை r என்றால் குறைவான எண்ணிக்கைஅறியப்படாத மாறிகள் n, பின்னர் சமன்பாடுகளின் இடது பக்கங்களில் சிறிய அடிப்படையை உருவாக்கும் சொற்களை விட்டுவிட்டு, மீதமுள்ள சொற்களை கணினியின் சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்களுக்கு எதிர் அடையாளத்துடன் மாற்றுவோம்.

சமன்பாடுகளின் இடது பக்கங்களில் இருக்கும் அறியப்படாத மாறிகள் (அவற்றின் r) எனப்படும் முக்கிய.

வலது பக்கங்களில் இருக்கும் அறியப்படாத மாறிகள் (n - r துண்டுகள் உள்ளன) என்று அழைக்கப்படுகின்றன இலவசம்.

இப்போது இலவச அறியப்படாத மாறிகள் தன்னிச்சையான மதிப்புகளை எடுக்கலாம் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம், அதே நேரத்தில் r முக்கிய அறியப்படாத மாறிகள் ஒரு தனித்துவமான வழியில் இலவச அறியப்படாத மாறிகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும். க்ரேமர் முறை, மேட்ரிக்ஸ் முறை அல்லது காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி விளைந்த SLAE ஐத் தீர்ப்பதன் மூலம் அவற்றின் வெளிப்பாட்டைக் கண்டறியலாம்.

அதை ஒரு உதாரணத்துடன் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் .

தீர்வு.

கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டுபிடிப்போம் சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறை மூலம். முதல் வரிசையின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனராக 1 1 = 1 ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இந்த மைனரின் எல்லையில் உள்ள இரண்டாவது வரிசையின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனரைத் தேடத் தொடங்குவோம்:


இரண்டாவது வரிசையின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனரை இப்படித்தான் கண்டுபிடித்தோம். மூன்றாவது வரிசையின் பூஜ்ஜியமற்ற எல்லை மைனரைத் தேடத் தொடங்குவோம்:


எனவே, முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை மூன்று ஆகும். நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரமும் மூன்றுக்கு சமம், அதாவது அமைப்பு சீரானது.

மூன்றாவது வரிசையில் காணப்படும் பூஜ்ஜியமற்ற மைனரை அடிப்படையாக எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

தெளிவுக்காக, சிறிய அடிப்படையை உருவாக்கும் கூறுகளைக் காட்டுகிறோம்:


சிஸ்டம் சமன்பாடுகளின் இடது பக்கத்தில் சிறிய அடிப்படையில் உள்ள விதிமுறைகளை விட்டுவிட்டு, மீதமுள்ளவற்றை எதிரெதிர் அறிகுறிகளுடன் வலது பக்கங்களுக்கு மாற்றுகிறோம்:


இலவச அறியப்படாத மாறிகள் x 2 மற்றும் x 5 தன்னிச்சையான மதிப்புகளை வழங்குவோம், அதாவது நாங்கள் ஏற்றுக்கொள்கிறோம். , தன்னிச்சையான எண்கள் எங்கே. இந்த வழக்கில், SLAE படிவத்தை எடுக்கும்


க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் விளைவாக வரும் அடிப்படை அமைப்பைத் தீர்ப்போம்:


எனவே, .

உங்கள் பதிலில், இலவச அறியப்படாத மாறிகளைக் குறிப்பிட மறக்காதீர்கள்.

பதில்:

தன்னிச்சையான எண்கள் எங்கே.

சுருக்கவும்.

பொதுவான நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க, க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் இணக்கத்தன்மையை முதலில் தீர்மானிக்கிறோம். பிரதான மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், கணினி பொருந்தாது என்று முடிவு செய்கிறோம்.

பிரதான மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இருந்தால், நாங்கள் ஒரு சிறிய அடிப்படையைத் தேர்ந்தெடுத்து, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அடிப்படை மைனரை உருவாக்குவதில் பங்கேற்காத அமைப்பின் சமன்பாடுகளை நிராகரிக்கிறோம்.

அடிப்படை மைனரின் வரிசை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால், SLAE க்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது, இது நமக்குத் தெரிந்த எந்த முறையிலும் கண்டறிய முடியும்.

அடிப்படை மைனரின் வரிசை அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருந்தால், கணினி சமன்பாடுகளின் இடது பக்கத்தில் முக்கிய அறியப்படாத மாறிகளுடன் விதிமுறைகளை விட்டுவிட்டு, மீதமுள்ள சொற்களை வலது பக்கங்களுக்கு மாற்றி தன்னிச்சையான மதிப்புகளை வழங்குகிறோம். இலவச அறியப்படாத மாறிகள். விளைவான நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து, க்ரேமர் முறை, மேட்ரிக்ஸ் முறை அல்லது காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி முக்கிய அறியப்படாத மாறிகளைக் காண்கிறோம்.

பொது வடிவத்தின் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான காஸ் முறை.

காஸ் முறையானது எந்த வகையான நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளையும் முதலில் பொருந்தக்கூடியதா என்பதை சோதிக்காமல் அவற்றைத் தீர்க்கப் பயன்படுகிறது. அறியப்படாத மாறிகளை வரிசையாக நீக்கும் செயல்முறையானது SLAE இன் பொருந்தக்கூடிய தன்மை மற்றும் பொருந்தாத தன்மை ஆகிய இரண்டையும் பற்றிய ஒரு முடிவுக்கு வருவதை சாத்தியமாக்குகிறது, மேலும் ஒரு தீர்வு இருந்தால், அதைக் கண்டுபிடிப்பதை சாத்தியமாக்குகிறது.

கணக்கீட்டுக் கண்ணோட்டத்தில், காஸியன் முறை விரும்பத்தக்கது.

பொது வடிவத்தின் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான காஸ் முறை என்ற கட்டுரையில் அதன் விரிவான விளக்கம் மற்றும் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கவும்.

தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பின் திசையன்களைப் பயன்படுத்தி ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற நேரியல் இயற்கணித அமைப்புகளுக்கு பொதுவான தீர்வை எழுதுதல்.

இந்த பிரிவில், எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்ட நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே நேரத்தில் ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புகளைப் பற்றி பேசுவோம்.

முதலில் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகளைக் கையாள்வோம்.

தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு n அறியப்படாத மாறிகள் கொண்ட p நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு இந்த அமைப்பின் (n - r) நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளின் தொகுப்பாகும், இதில் r என்பது அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் அடிப்படை சிறிய வரிசையாகும்.

X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) என ஒரே மாதிரியான SLAE இன் நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளைக் குறிப்பிடினால், அவை நெடுவரிசையாகும். பரிமாணத்தின் matrices of 1) , பின்னர் இந்த ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு, தன்னிச்சையான நிலையான குணகங்கள் C 1, C 2, ..., C (n-r) உடன் தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பின் திசையன்களின் நேரியல் கலவையாக குறிப்பிடப்படுகிறது. இருக்கிறது, .

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் (ஓரோஸ்லாவ்) ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு என்ற வார்த்தையின் அர்த்தம் என்ன?

பொருள் எளிதானது: சூத்திரம் அசல் SLAE இன் சாத்தியமான அனைத்து தீர்வுகளையும் குறிப்பிடுகிறது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், நாம் செய்யும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தன்னிச்சையான மாறிலிகள் C 1, C 2, ..., C (n-r) மதிப்புகளின் எந்த தொகுப்பையும் எடுத்துக்கொள்கிறோம். அசல் ஒரே மாதிரியான SLAE இன் தீர்வுகளில் ஒன்றைப் பெறவும்.

எனவே, தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டால், இந்த ஒரே மாதிரியான SLAE இன் அனைத்து தீர்வுகளையும் நாம் இவ்வாறு வரையறுக்கலாம்.

ஒரே மாதிரியான SLAEக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்கும் செயல்முறையை காண்போம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அசல் அமைப்பின் சிறிய அடிப்படையை நாங்கள் தேர்ந்தெடுத்து, கணினியிலிருந்து மற்ற அனைத்து சமன்பாடுகளையும் தவிர்த்து, இலவச அறியப்படாத மாறிகளைக் கொண்ட அனைத்து சொற்களையும் எதிர் அறிகுறிகளுடன் கணினியின் சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்களுக்கு மாற்றுவோம். இலவச அறியப்படாத மாறிகளுக்கு 1,0,0,...,0 மதிப்புகளைக் கொடுப்போம் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அடிப்படை அமைப்பை எந்த வகையிலும் தீர்ப்பதன் மூலம் முக்கிய தெரியாதவற்றைக் கணக்கிடுவோம், எடுத்துக்காட்டாக, க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி. இதன் விளைவாக எக்ஸ் (1) - அடிப்படை அமைப்பின் முதல் தீர்வு. இலவச தெரியாதவற்றிற்கு 0,1,0,0,...,0 மதிப்புகளைக் கொடுத்து, முக்கிய தெரியாதவற்றைக் கணக்கிட்டால், நமக்கு X (2) கிடைக்கும். மற்றும் பல. இலவச அறியப்படாத மாறிகளுக்கு 0.0,...,0.1 மதிப்புகளை ஒதுக்கி, முக்கிய தெரியாதவற்றைக் கணக்கிட்டால், நாம் X (n-r) ஐப் பெறுகிறோம். இந்த வழியில், ஒரே மாதிரியான SLAEக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு உருவாக்கப்படும் மற்றும் அதன் பொதுவான தீர்வை வடிவத்தில் எழுதலாம்.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புகளுக்கு, பொதுவான தீர்வு வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது, இது தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் அசல் ஒத்திசைவற்ற SLAE இன் குறிப்பிட்ட தீர்வாகும், இது இலவச தெரியாதவர்களுக்கு மதிப்புகளை வழங்குவதன் மூலம் நாம் பெறுகிறோம் 0,0,...,0 மற்றும் முக்கிய தெரியாதவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறது.

உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு மற்றும் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகளின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை எப்போதும் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இருக்கும். சிறார்களை எல்லைப்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்தி முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டுபிடிப்போம். முதல் வரிசையின் பூஜ்ஜியமற்ற மைனராக, கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் 1 1 = 9 என்ற உறுப்பை எடுத்துக்கொள்கிறோம். இரண்டாவது வரிசையின் பூஜ்ஜியம் அல்லாத மைனர் எல்லையைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட இரண்டாவது வரிசையின் மைனர் கண்டறியப்பட்டது. பூஜ்ஜியமற்ற ஒன்றைத் தேடி அதன் எல்லையில் உள்ள மூன்றாம் வரிசை மைனர்களின் வழியாகச் செல்லலாம்:

அனைத்து மூன்றாம் வரிசை எல்லை மைனர்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், எனவே, முக்கிய மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரம் இரண்டுக்கு சமம். எடுக்கலாம். தெளிவுக்காக, அதை உருவாக்கும் அமைப்பின் கூறுகளைக் கவனிக்கலாம்:

அசல் SLAE இன் மூன்றாவது சமன்பாடு சிறிய அடிப்படையை உருவாக்குவதில் பங்கேற்கவில்லை, எனவே, அதை விலக்கலாம்:

சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்களில் முக்கிய அறியப்படாத சொற்களைக் கொண்ட விதிமுறைகளை விட்டுவிட்டு, இலவச அறியப்படாத சொற்களைக் கொண்ட விதிமுறைகளை வலது பக்கங்களுக்கு மாற்றுவோம்:

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அசல் ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குவோம். இந்த SLAE இன் தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு இரண்டு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் அசல் SLAE நான்கு அறியப்படாத மாறிகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அதன் அடிப்படை சிறிய வரிசை இரண்டுக்கு சமம். X (1) ஐக் கண்டுபிடிக்க, இலவச அறியப்படாத மாறிகளுக்கு x 2 = 1, x 4 = 0 மதிப்புகளைக் கொடுக்கிறோம், பின்னர் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து முக்கிய தெரியாதவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்.
.

ஒரே மாதிரியான அமைப்பு எப்போதும் சீரானது மற்றும் ஒரு அற்பமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது
. அற்பமான தீர்வு இருக்க, மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அவசியம் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருந்தது:

.

தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு ஒரே மாதிரியான அமைப்பு
நெடுவரிசை திசையன்களின் வடிவத்தில் தீர்வுகளின் அமைப்பை அழைக்கவும்
, இது நியமன அடிப்படைக்கு ஒத்திருக்கிறது, அதாவது. தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் அடிப்படையில்
மாறி மாறி ஒன்றுக்கு சமமாக அமைக்கவும், மீதமுள்ளவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக அமைக்கப்பட்டுள்ளன.

பின்னர் ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:

எங்கே
- தன்னிச்சையான மாறிலிகள். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒட்டுமொத்த தீர்வு என்பது தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பின் நேரியல் கலவையாகும்.

இவ்வாறு, இலவச அறியப்படாதவைகளுக்கு ஒன்றின் மதிப்பைக் கொடுத்து, மற்ற அனைத்தையும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக அமைத்தால், பொதுவான தீர்விலிருந்து அடிப்படைத் தீர்வுகளைப் பெறலாம்.

உதாரணமாக. அமைப்புக்கு தீர்வு காண்போம்

ஏற்றுக்கொள்வோம் , பின்னர் படிவத்தில் ஒரு தீர்வைப் பெறுவோம்:

இப்போது தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குவோம்:

.

பொதுவான தீர்வு பின்வருமாறு எழுதப்படும்:

ஒரே மாதிரியான நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் தீர்வுகள் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் எந்த நேரியல் கலவையும் மீண்டும் ஒரு தீர்வாகும்.

காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதில் பல நூற்றாண்டுகளாக ஆர்வமுள்ள கணிதவியலாளர்கள் உள்ளனர். முதல் முடிவுகள் 18 ஆம் நூற்றாண்டில் பெறப்பட்டன. 1750 ஆம் ஆண்டில், ஜி. கிராமர் (1704-1752) சதுர அணிகளை தீர்மானிப்பதில் தனது படைப்புகளை வெளியிட்டார் மற்றும் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு வழிமுறையை முன்மொழிந்தார். 1809 ஆம் ஆண்டில், காஸ் அகற்றும் முறை எனப்படும் ஒரு புதிய தீர்வு முறையை கோடிட்டுக் காட்டினார்.

காஸியன் முறை, அல்லது தெரியாதவற்றை வரிசையாக நீக்கும் முறை, அடிப்படை மாற்றங்களின் உதவியுடன், சமன்பாடுகளின் அமைப்பு ஒரு படி (அல்லது முக்கோண) வடிவத்தின் சமமான அமைப்பாக குறைக்கப்படுகிறது. இத்தகைய அமைப்புகள் ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் தெரியாத அனைத்தையும் வரிசையாகக் கண்டுபிடிக்க உதவுகிறது.

அமைப்பில் (1) என்று வைத்துக்கொள்வோம்
(இது எப்போதும் சாத்தியம்).

(1)

முதல் சமன்பாட்டை ஒன்றன் பின் ஒன்றாகப் பெருக்குதல் பொருத்தமான எண்கள்

மற்றும் பெருக்கத்தின் முடிவை கணினியின் தொடர்புடைய சமன்பாடுகளுடன் சேர்த்தால், நாம் ஒரு சமமான அமைப்பைப் பெறுகிறோம், அதில் முதல் சமன்பாடு தவிர அனைத்து சமன்பாடுகளிலும் தெரியாதவை எதுவும் இருக்காது. எக்ஸ் 1

(2)

இப்போது கணினி (2) இன் இரண்டாவது சமன்பாட்டை பொருத்தமான எண்களால் பெருக்கலாம்

,

மற்றும் அதை குறைந்தவற்றுடன் சேர்த்து, மாறியை அகற்றுவோம் அனைத்து சமன்பாடுகளிலிருந்தும், மூன்றில் இருந்து தொடங்குகிறது.

இந்த செயல்முறையை தொடர்ந்து, பிறகு
நாம் பெறும் படி:

(3)

குறைந்தபட்சம் எண்களில் ஒன்று இருந்தால்
பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, பின்னர் தொடர்புடைய சமத்துவம் முரண்பாடானது மற்றும் அமைப்பு (1) சீரற்றது. மாறாக, எந்த கூட்டு எண் அமைப்புக்கும்
பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். எண் கணினியின் அணி (1) தரவரிசையைத் தவிர வேறொன்றுமில்லை.

அமைப்பு (1) இலிருந்து (3) க்கு மாறுவது அழைக்கப்படுகிறது நேராக முன்னோக்கி காஸ் முறை, மற்றும் (3) இலிருந்து தெரியாதவற்றைக் கண்டறிதல் – தலைகீழ் .

கருத்து : சமன்பாடுகளுடன் அல்ல, மாறாக கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸுடன் மாற்றங்களைச் செய்வது மிகவும் வசதியானது (1).

உதாரணமாக. அமைப்புக்கு தீர்வு காண்போம்

.

கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதுவோம்:

.

முதல் வரிகளை 2,3,4, முறையே (-2), (-3), (-2) ஆல் பெருக்குவோம்:

.

வரிசைகள் 2 மற்றும் 3 ஐ மாற்றுவோம், அதன் விளைவாக வரும் மேட்ரிக்ஸில் வரிசை 2 ஐ வரிசை 4 க்கு பெருக்குவோம் :

.

வரி 4 வரி 3 பெருக்கப்படும்
:

.

என்பது வெளிப்படையானது
எனவே, அமைப்பு சீரானது. சமன்பாடுகளின் விளைவான அமைப்பிலிருந்து

தலைகீழ் மாற்றீடு மூலம் தீர்வைக் காண்கிறோம்:

,
,
,
.

எடுத்துக்காட்டு 2.கணினிக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறியவும்:

.

அமைப்பு பொருந்தாதது என்பது வெளிப்படையானது, ஏனெனில்
, ஏ
.

காஸ் முறையின் நன்மைகள் :

க்ரேமர் முறையை விட குறைவான உழைப்பு.

கணினியின் பொருந்தக்கூடிய தன்மையை சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி நிறுவுகிறது மற்றும் ஒரு தீர்வைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

எந்த மெட்ரிக்குகளின் தரவரிசையையும் தீர்மானிக்க உதவுகிறது.

அனைத்து இலவச சொற்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது ஒரேவிதமான :

எந்தவொரு ஒரே மாதிரியான அமைப்பு எப்போதும் நிலையானது, ஏனெனில் அது எப்போதும் உள்ளது பூஜ்யம் (அற்பமானது ) தீர்வு. ஒரே மாதிரியான அமைப்பு எந்த நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு அற்பமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும் என்ற கேள்வி எழுகிறது.

தேற்றம் 5.2.அடிப்படை மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை அதன் அறியப்படாத எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரே மாதிரியான அமைப்பு ஒரு அற்பமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது.

விளைவு. ஒரு சதுர ஒரே மாதிரியான அமைப்பானது, அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இல்லாவிட்டால் மட்டுமே, அற்ப தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.6.கணினியில் அற்பமான தீர்வுகள் உள்ள அளவுரு l இன் மதிப்புகளைத் தீர்மானித்து, பின்வரும் தீர்வுகளைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு. பிரதான மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது இந்த அமைப்பு அற்பமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்:

எனவே, அமைப்பு l=3 அல்லது l=2 போது அற்பமானது அல்ல. l=3க்கு, கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க் 1. பிறகு, ஒரே ஒரு சமன்பாட்டை விட்டுவிட்டு, ஒய்=அமற்றும் z=பி, நாம் பெறுகிறோம் x=b-a, அதாவது

l=2 க்கு, கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை 2 ஆகும். பிறகு, மைனரை அடிப்படையாகத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

நாங்கள் ஒரு எளிமையான அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

இங்கிருந்து நாம் அதைக் கண்டுபிடிக்கிறோம் x=z/4, y=z/2. நம்புவது z=4அ, நாம் பெறுகிறோம்

ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் அனைத்து தீர்வுகளின் தொகுப்பு மிகவும் முக்கியமானது நேரியல் சொத்து : நெடுவரிசைகள் X என்றால் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 - ஒரே மாதிரியான அமைப்பிற்கான தீர்வுகள் AX = 0, பின்னர் அவற்றின் எந்த நேரியல் கலவையும்அ எக்ஸ் 1 + பி எக்ஸ் 2 இந்த முறைக்கு ஒரு தீர்வாகவும் இருக்கும். உண்மையில், இருந்து AX 1 = 0 மற்றும் AX 2 = 0 , அந்த ஏ(அ எக்ஸ் 1 + பி எக்ஸ் 2) = a AX 1 + பி AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. இந்தப் பண்பு காரணமாகவே ஒரு நேரியல் அமைப்பில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தீர்வுகள் இருந்தால், இந்த தீர்வுகளின் எண்ணற்ற எண்ணிக்கை இருக்கும்.

நேரியல் சார்பற்ற நெடுவரிசைகள் ஈ 1 , ஈ 2 , இ கே, ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் தீர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு இந்த அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு இந்த நெடுவரிசைகளின் நேரியல் கலவையாக எழுதப்பட்டால், நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு:

ஒரே மாதிரியான அமைப்பு இருந்தால் nமாறிகள், மற்றும் அமைப்பின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை சமமாக இருக்கும் ஆர், அந்த கே = என்-ஆர்.

எடுத்துக்காட்டு 5.7.பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு. கணினியின் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எனவே, இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு பரிமாணத்தின் நேரியல் துணைவெளியை உருவாக்குகிறது என்-ஆர்= 5 - 2 = 3. அடிப்படையாக மைனர் தேர்வு செய்யலாம்

பின்னர், அடிப்படை சமன்பாடுகள் (மீதமுள்ளவை இந்த சமன்பாடுகளின் நேரியல் கலவையாக இருக்கும்) மற்றும் அடிப்படை மாறிகள் (மீதமுள்ளவை, இலவச மாறிகள் என்று அழைக்கப்படுபவை வலதுபுறம் நகர்த்துகிறோம்), நாம் ஒரு எளிமையான சமன்பாடு அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

நம்புவது எக்ஸ் 3 = அ, எக்ஸ் 4 = பி, எக்ஸ் 5 = c, நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்

நம்புவது அ= 1, b = c= 0, நாங்கள் முதல் அடிப்படை தீர்வைப் பெறுகிறோம்; நம்பிக்கை பி= 1, a = c= 0, நாம் இரண்டாவது அடிப்படை தீர்வைப் பெறுகிறோம்; நம்பிக்கை c= 1, a = b= 0, நாங்கள் மூன்றாவது அடிப்படை தீர்வைப் பெறுகிறோம். இதன் விளைவாக, தீர்வுகளின் சாதாரண அடிப்படை அமைப்பு வடிவம் எடுக்கும்

அடிப்படை அமைப்பைப் பயன்படுத்தி, ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வை இவ்வாறு எழுதலாம்

எக்ஸ் = aE 1 + இரு 2 + cE 3. அ

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பிற்கான தீர்வுகளின் சில பண்புகளை நாம் கவனிக்கலாம் AX=Bமற்றும் சமன்பாடுகளின் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்புடன் அவற்றின் உறவு AX = 0.

ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் பொதுவான தீர்வுதொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொது தீர்வு AX = 0 மற்றும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் தன்னிச்சையான குறிப்பிட்ட தீர்வு ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.. உண்மையில், விடுங்கள் ஒய் 0 என்பது ஒரு சீரற்ற அமைப்பின் தன்னிச்சையான குறிப்பிட்ட தீர்வு, அதாவது. ஏய் 0 = பி, மற்றும் ஒய்- ஒரு பன்முக அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு, அதாவது. AY=B. ஒரு சமத்துவத்தை மற்றொன்றிலிருந்து கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்
ஏ(ஒய்-ஒய் 0) = 0, அதாவது. ஒய்-ஒய் 0 என்பது தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு AX=0. எனவே, ஒய்-ஒய் 0 = எக்ஸ், அல்லது Y=Y 0 + எக்ஸ். கே.இ.டி.

ஒத்திசைவற்ற அமைப்பு AX = B வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும் 1 + பி 2 . அத்தகைய அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு X = X என எழுதப்படலாம் 1 + எக்ஸ் 2 , எங்கே AX 1 = பி 1 மற்றும் AX 2 = பி 2. இந்த சொத்து பொதுவாக எந்த நேரியல் அமைப்புகளின் உலகளாவிய சொத்தை வெளிப்படுத்துகிறது (இயற்கணிதம், வேறுபாடு, செயல்பாட்டு, முதலியன). இயற்பியலில் இந்தப் பண்பு அழைக்கப்படுகிறது மேல்நிலை கொள்கை, மின் மற்றும் வானொலி பொறியியலில் - சூப்பர்போசிஷன் கொள்கை. எடுத்துக்காட்டாக, நேரியல் மின்சுற்றுகளின் கோட்பாட்டில், எந்தவொரு சுற்றுவட்டத்திலும் உள்ள மின்னோட்டமானது ஒவ்வொரு ஆற்றல் மூலமும் தனித்தனியாக ஏற்படும் மின்னோட்டங்களின் இயற்கணிதத் தொகையாகப் பெறலாம்.

உங்கள் பிரச்சனைக்கு விரிவான தீர்வை ஆர்டர் செய்யலாம்!!!

அது என்னவென்று புரிந்து கொள்ள அடிப்படை முடிவு அமைப்புகிளிக் செய்வதன் மூலம் அதே உதாரணத்திற்கான வீடியோ டுடோரியலை நீங்கள் பார்க்கலாம். இப்போது தேவையான அனைத்து வேலைகளின் உண்மையான விளக்கத்திற்கு செல்லலாம். இந்த சிக்கலின் சாரத்தை இன்னும் விரிவாக புரிந்து கொள்ள இது உதவும்.

நேரியல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எடுத்துக் கொள்வோம்:

இந்த நேரியல் முறை சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு காண்போம். தொடங்குவதற்கு, நாங்கள் நீங்கள் கணினியின் குணகம் மேட்ரிக்ஸை எழுத வேண்டும்.

இந்த மேட்ரிக்ஸை முக்கோணமாக மாற்றுவோம்.முதல் வரியை மாற்றங்கள் இல்லாமல் மீண்டும் எழுதுகிறோம். மேலும் $a_(11)$ க்கு கீழ் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியங்களாக செய்யப்பட வேண்டும். $a_(21)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, இரண்டாவது வரியிலிருந்து முதல் வரியைக் கழித்து, இரண்டாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(31)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, மூன்றாவது வரியிலிருந்து முதல் வரியைக் கழித்து, மூன்றாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(41)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, நான்காவது வரியிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் முதல் எண்ணைக் கழித்து, நான்காவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(31)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, ஐந்தாவது வரியிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் ஐந்தாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும்.

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிகளை மாற்றமின்றி மீண்டும் எழுதுகிறோம். மேலும் $a_(22)$ இன் கீழ் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியங்களாக செய்யப்பட வேண்டும். $a_(32)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, மூன்றாவது வரியிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் இரண்டாவது ஒன்றைக் கழித்து மூன்றாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(42)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, நான்காவது வரியிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் இரண்டைக் கழித்து நான்காவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும். $a_(52)$ என்ற உறுப்பின் இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை உருவாக்க, ஐந்தாவது வரியிலிருந்து 3 ஆல் பெருக்கப்படும் இரண்டைக் கழித்து ஐந்தாவது வரியில் வித்தியாசத்தை எழுத வேண்டும்.

என்று பார்க்கிறோம் கடைசி மூன்று வரிகளும் ஒன்றே, எனவே நான்காவது மற்றும் ஐந்தில் இருந்து மூன்றை கழித்தால் அவை பூஜ்ஜியமாகிவிடும்.

இந்த மேட்ரிக்ஸின் படி எழுது புதிய அமைப்புசமன்பாடுகள்.

எங்களிடம் மூன்று நேரியல் சார்பற்ற சமன்பாடுகள் மற்றும் ஐந்து அறியப்படாத சமன்பாடுகள் மட்டுமே இருப்பதைக் காண்கிறோம், எனவே தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு இரண்டு திசையன்களைக் கொண்டிருக்கும். எனவே நாம் கடைசி இரண்டு தெரியாதவற்றை வலது பக்கம் நகர்த்த வேண்டும்.

இப்போது, ​​இடது பக்கத்தில் இருக்கும் தெரியாதவற்றை வலது பக்கம் உள்ளவர்கள் மூலம் வெளிப்படுத்த ஆரம்பிக்கிறோம். கடைசி சமன்பாட்டுடன் தொடங்குகிறோம், முதலில் $x_3$ ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம், அதன் விளைவாக வரும் முடிவை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றி $x_2$ ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம், பின்னர் முதல் சமன்பாட்டிற்குள் மற்றும் இங்கே $x_1$ ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம். இவ்வாறு இடது பக்கம் இருக்கும் தெரியாதவைகளை வலது பக்கம் இருக்கும் தெரியாதவை மூலம் வெளிப்படுத்தினோம்.

பின்னர், $x_4$ மற்றும் $x_5$ க்குப் பதிலாக, நாம் எந்த எண்களையும் மாற்றலாம் மற்றும் $x_1$, $x_2$ மற்றும் $x_3$ ஆகியவற்றைக் கண்டறியலாம். இந்த ஒவ்வொரு ஐந்து எண்களும் நமது அசல் சமன்பாடுகளின் மூலங்களாக இருக்கும். இதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள திசையன்களைக் கண்டறிய FSR$x_4$க்கு பதிலாக 1ஐயும், $x_5$க்கு பதிலாக 0ஐயும் மாற்ற வேண்டும், $x_1$, $x_2$ மற்றும் $x_3$ ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும், அதன்பின் நேர்மாறாக $x_4=0$ மற்றும் $x_5=1$ ஐக் கண்டறியவும்.

6.3 நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகள்

இப்போது கணினியில் விடுங்கள் (6.1).

ஒரே மாதிரியான அமைப்பு எப்போதும் சீரானது. தீர்வு () என்று அழைக்கப்படுகிறது பூஜ்யம், அல்லது அற்பமானது.

ஒரே மாதிரியான அமைப்பு (6.1) பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வைக் கொண்டிருக்கும் மற்றும் அதன் தரவரிசையில் இருந்தால் மட்டுமே ( ) தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக உள்ளது. குறிப்பாக, சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்.

ஏனெனில் இந்த முறை எல்லாம், சூத்திரங்களுக்குப் பதிலாக (6.6) பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

(6.7)

சூத்திரங்கள் (6.7) ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் (6.1) எந்தவொரு தீர்வையும் கொண்டிருக்கின்றன.

1. நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பிற்கான அனைத்து தீர்வுகளின் தொகுப்பு (6.1) ஒரு நேரியல் இடத்தை உருவாக்குகிறது.

2. நேரியல் இடம்ஆர்நேரியல் சமன்பாடுகளின் (6.1) ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் அனைத்து தீர்வுகளும்nதெரியாதவர்கள் மற்றும் முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க் சமம்ஆர், பரிமாணம் உள்ளதுஎன்-ஆர்.

ஏதேனும் தொகுப்பு (என்-ஆர்) ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகள் (6.1) விண்வெளியில் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகிறதுஆர்அனைத்து முடிவுகளும். அது அழைக்கபடுகிறது அடிப்படைசமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு (6.1). சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்படுகிறது "சாதாரண"ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் தீர்வுகளின் அடிப்படை தொகுப்பு (6.1):

(6.8)

அடிப்படை வரையறை மூலம், எந்த தீர்வு எக்ஸ்ஒரே மாதிரியான அமைப்பு (6.1) வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம்

(6.9)

எங்கே - தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

சூத்திரம் (6.9) ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கு (6.1) ஏதேனும் தீர்வைக் கொண்டிருப்பதால், அது கொடுக்கிறது பொதுவான முடிவுஇந்த அமைப்பு.

உதாரணமாக.