표를 보고 증명해 보세요. 정보학 및 ict 수업의 논리 법칙. 결합의 교환성 및 분리의 교환성

논리식을 위한 진리표 구축

시험 기본 논리 연산.

53. 이 표는 인터넷의 특정 부분에 대한 검색어와 검색된 페이지 수를 보여줍니다.

요구

찾은 페이지(천 단위)

초콜릿 | 제피르

15 000

초콜릿과 대리석

8 000

제피르

12 000

CHOCOLATE 쿼리에 대해 몇 페이지(천 단위)를 찾을 수 있습니까? 오일러 원을 사용하여 문제를 해결하십시오.

54. 이 표는 인터넷의 특정 부분에 대한 검색어와 검색된 페이지 수를 보여줍니다.

요구

찾은 페이지(천 단위)

ZUBR & 투어

5 000

바이슨

18 000

관광

12 000

ZUBR | 쿼리에 대해 검색되는 페이지 수(천 단위) 관광?오일러 원을 사용하여 문제를 해결하십시오.

55. 이 표는 인터넷의 특정 세그먼트에 대해 검색어와 검색된 페이지 수를 보여줍니다.

요구

찾은 페이지(천 단위)

축구 | 하키

20 000

축구

14 000

하키

16 000


FOOTBALL & HOCKEY에 대해서는 몇 페이지(천 단위)가 검색됩니까? 오일러 원을 사용하여 문제를 해결하십시오.

작업.

1. 다음 문장이 서술문이 아닌 이유를 설명하세요.

1) 이 집은 무슨 색입니까?

2) 숫자 X는 1을 초과하지 않습니다.

4) 창밖을 보세요.

5) 토마토 주스를 마셔보세요!

6) 이 주제는 지루합니다.

7) Ricky Martin은 가장 인기 있는 가수입니다.

8) 극장에 가본 적이 있습니까?

3. 다음 진술에서 간단한 진술을 강조 표시하고 각 진술에 문자를 표시하십시오. 문자와 논리 연산 기호를 사용하여 각 복합문을 적어보세요.

1) 376이라는 숫자는 짝수이고 세 자리입니다.

2) 겨울에는 아이들이 스케이트나 스키를 타러 갑니다.

3) 다차나 붉은 광장에서 새해를 축하합니다.

4) 태양이 지구 주위를 돈다는 것은 사실이 아닙니다.

5) 지구는 공 모양으로 우주에서 보면 파란색으로 보입니다.

6) 수학 수업에서 고등학생들은 교사의 질문에 답하고 독립적인 작품도 썼습니다.

4. 다음 진술의 부정문을 작성하십시오.

1) 오늘 극장에서는 오페라 '유진 오네긴'이 공연되고 있습니다.

2) 모든 사냥꾼은 꿩이 어디에 앉아 있는지 알고 싶어합니다.

3) 숫자 1은 소수입니다.

4) O로 끝나는 자연수는 소수가 아니다.

5) 숫자 3이 숫자 198의 약수가 아니라는 것은 사실이 아닙니다.

6) Kolya는 테스트의 모든 작업을 해결했습니다.

7) 모든 학교에는 스포츠에 관심이 있는 학생들이 있습니다.

8) 일부 포유류는 육지에 살지 않습니다.

5. A \u003d " Anya는 수학 수업을 좋아합니다.", 그리고 B = " 하지만나는 화학 수업을 좋아합니다. 다음 수식을 일반 언어로 표현하십시오.


6. 그림에 표시된 전기 회로를 고려하십시오.


물리학 과정에서 알고 있는 스위치의 병렬 및 직렬 연결을 보여줍니다. 첫 번째 경우 전구에 불이 들어오려면 두 스위치가 모두 켜져 있어야 합니다. 두 번째 경우에는 스위치 중 하나가 켜져 있으면 충분합니다. 전기 회로 및 객체의 요소와 논리 대수학의 작동 사이에 독립적으로 비유를 그려보십시오.

배선도

논리의 대수학

스위치

켜다

끄다

스위치의 직렬 연결

스위치의 병렬 연결

7. 인터넷 네트워크의 일부 세그먼트는 1000개의 사이트로 구성됩니다. 검색 서버는 이 세그먼트의 사이트에 대한 키워드 테이블을 자동으로 컴파일했습니다. 다음은 그 조각입니다.

예어

이 단어가 키워드인 사이트의 수

메기

250

검객

200

구피

500

요청 시 메기 & 구피요청에 의해 0개 사이트를 찾았습니다. 메기 & 검꼬리- 20개 사이트 및 요청 시 검꼬리 & 구피- 10개 사이트.요청 시 찾을 수 있는 사이트 수 메기 | 검객 | 구피?
고려된 세그먼트의 사이트 수는 거짓 진술입니다."메기 - 사이트 OR 검사의 키워드 -사이트 키워드 또는 guppy - 사이트 키워드" ?
8. 다음 논리식에 대한 진리표를 작성합니다.

9. 단락에서 고려한 논리를 증명하십시오. 진리표의 도움으로 일부 법칙.

10진수 체계에서 세 개의 숫자가 주어집니다: A = 23, B = 19, C = 26. A, B, C를 2진수 체계로 변환하고 비트 논리 연산(A v B) & C를 수행합니다. 십진법.
11. 표현식 값 찾기:
1) (1 대 1) 대 (1 대 0);
2) ((1 v 0) v 1) v 1);
3) (0 & 1) & 1;
4) 1 & (1 & 1) & 1;
5) ((1 대 0) & (1 & 1)) & (0 대 1);
6) ((1 & 1) v 0) & (0 v 1);
7) ((0 & 0) v 0) & (1 v 1);
8) (A v 1) v (B v 0);
9) ((1 & A) v (B & 0)) v 1;
10) 1vA & 0.
12. 부울 표현식의 값 찾기

을 위한 숫자 X의 지정된 값: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

§ 1.3. 논리 대수학의 요소

논리 대수학의 요소. 질문 및 작업

1. 교과서 전자 보충 자료에 포함된 단락의 발표 자료를 숙지하십시오. 프레젠테이션이 단락의 텍스트에 포함된 정보를 보완합니까?

2. 다음 문장이 진술이 아닌 이유를 설명하십시오.

    1) 이 집은 무슨 색입니까?
    2) 숫자 X는 1을 초과하지 않습니다.
    3) 4X + 3.
    4) 창밖을 보세요.
    5) 토마토 주스를 마셔보세요!
    6) 이 주제는 지루합니다.
    7) Ricky Martin은 가장 인기 있는 가수입니다.
    8) 극장에 가본 적이 있습니까?

3. 생물학, 지리학, 컴퓨터 과학, 역사, 수학, 문학에서 참과 거짓 진술의 한 가지 예를 들어 보십시오.

4. 다음 진술에서 간단한 진술을 강조 표시하고 각 진술을 문자로 표시하십시오. 논리 연산의 문자와 기호를 사용하여 각 복합 명령문을 작성하십시오.

    1) 376이라는 숫자는 짝수이고 세 자리입니다.
    2) 겨울에는 아이들이 스케이트나 스키를 타러 갑니다.
    3) 다차나 붉은 광장에서 새해를 맞이합니다.
    4) 태양이 지구 주위를 돈다는 것은 사실이 아닙니다.
    5) 지구는 공 모양으로 우주에서 보면 파랗게 보입니다.
    6) 수학 수업에서 고등학생들은 교사의 질문에 답하고 독립적 인 작업도 썼습니다.

5. 다음 진술의 부정문을 구성하십시오.

    1) 오늘 오페라 "유진 오네긴"이 극장에서 진행됩니다.
    2) 모든 사냥꾼은 꿩이 어디에 앉아 있는지 알고 싶어합니다.
    3) 숫자 1은 소수입니다.
    4) 0으로 끝나는 자연수는 소수가 아니다.
    5) 숫자 3이 숫자 198의 약수가 아니라는 것은 사실이 아닙니다.
    6) Kolya는 테스트의 모든 작업을 해결했습니다.
    7) 모든 학교에는 스포츠에 관심이 있는 학생들이 있습니다.
    8) 일부 포유류는 육지에 살지 않습니다.

6. A =라고 하자 "애나는 수학 수업을 좋아해요"및 B = "아나는 화학 수업을 좋아해요". 다음 공식을 일반 언어로 표현하세요.


7. 인터넷 네트워크의 일부 세그먼트는 1000개의 사이트로 구성됩니다. 검색 서버는 이 세그먼트의 사이트에 대한 키워드 표를 자동으로 컴파일했습니다. 그 부분은 다음과 같습니다.


요청 시 메기 & 구피요청에 의해 0개 사이트를 찾았습니다. 메기 & 검꼬리- 20개 사이트, 요청 시 검꼬리 & 구피- 10개 사이트.

요청 시 몇 개의 사이트를 찾을 수 있나요? 메기 | 검객 | 구피?

고려되는 세그먼트의 사이트 수에 대해 진술이 거짓입니다. "메기 - 사이트 키워드 OR 검꼬리 - 사이트 키워드 OR 구피 - 사이트 키워드"?

8. 다음 논리식에 대한 진리표를 작성하십시오.

9. 진리표를 사용하여 단락에서 고려한 논리 법칙의 증명을 수행합니다.

키워드:

  • 논리의 대수학
  • 성명
  • 논리 연산
  • 접속사
  • 분리
  • 부정
  • 부울 표현식
  • 진리표
  • 논리의 법칙

1.3.1. 성명

넓은 의미의 대수학은 다양한 수학적 대상에 대해 수행할 수 있는 덧셈 및 곱셈과 유사한 일반 연산의 과학입니다. 수 대수학, 다항식 대수학, 집합 대수학 등과 같은 수학 섹션에 익숙해지는 학교 대수학 과정에서 많은 수학적 객체(정수 및 유리수, 다항식, 벡터, 집합)를 공부합니다.

컴퓨터 과학의 경우 논리 대수학이라는 수학 분야가 중요합니다. 논리 대수학의 대상은 명제입니다.

예를 들어, "위대한 러시아 과학자 M.V. 로모노소프는 1711년에 태어났다"와 "2 더하기 6은 8"이라는 문장에 대해 우리는 분명히 그들이 사실이라고 말할 수 있습니다. "참새는 겨울에 동면한다"라는 문장은 거짓입니다. 그러므로 이 문장들은 진술이다.

예를 들어, "이 문장은 거짓이다"라는 문장은 모순 없이 그것이 참인지 거짓인지 말할 수 없기 때문에 명제가 아닙니다. 실제로 우리가 명제가 참이라고 받아들인다면 이것은 말한 것과 모순됩니다. 그 명제가 거짓이라고 받아들이면 그것이 참이라는 결론이 나옵니다.

"컴퓨터 그래픽은 학교 컴퓨터 과학 과정에서 가장 흥미로운 주제입니다"라는 문장에 대해서도 그것이 사실인지 거짓인지 명확하게 말할 수 없습니다. 그 이유를 스스로 생각해 보십시오.

예를 들어, "숙제를 적어라", "도서관에 어떻게 가나요?", "누가 우리에게 왔습니까?"와 같은 문장이 있습니다. ".

문의 예는 다음과 같습니다.

  1. "Na는 금속이다"(참 진술);
  2. "뉴턴의 두 번째 법칙은 공식 F=m a로 표현됩니다"(참 진술);
  3. "한 변의 길이가 a u b인 직사각형의 둘레는 a b와 같습니다"(거짓 진술).

수식은 명제가 아니지만 두 개의 수식을 등호나 부등호로 연결하여 명제를 만들 수 있다. 예를 들어:

  1. "34-5 = 2 4"(참 진술);
  2. "II4-VI > VIII"(거짓 진술).

변수를 포함하는 평등 또는 부등식도 진술이 아닙니다. 예를 들어, "X"라는 문장은< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

진술의 참 또는 거짓에 대한 입증은 그것이 속한 과학에 의해 결정됩니다. 논리의 대수학은 문장의 의미론적 내용에서 추상화됩니다. 그녀는 주어진 진술이 참인지 거짓인지에만 관심이 있습니다. 논리 대수학에서 문장은 문자로 표시되며 논리 변수라고 합니다. 또한 진술이 참이면 해당 논리 변수의 값은 1 (A \u003d 1)로 표시되고 거짓이면 0 (B \u003d 0)으로 표시됩니다. 부울 변수의 값을 나타내는 0과 1을 부울 값이라고합니다.

0 또는 1과만 같을 수 있는 논리 변수로 작동하는 논리 대수학을 사용하면 정보 처리를 이진 데이터 작업으로 줄일 수 있습니다. 정보를 저장하고 처리하는 컴퓨터 장치의 기초를 형성하는 것은 논리 대수학의 장치입니다. 논리 대수학 요소를 사용하면 컴퓨터 과학의 다른 많은 섹션에서도 만날 수 있습니다.

1.3.2. 부울 연산

진술은 간단하면서도 복잡합니다. 명령문의 일부가 그 자체로 명령문이 아닌 경우 명령문을 단순이라고 합니다. 복잡한(복합) 명령문은 논리 연산을 통해 간단한 명령문으로 구성됩니다.

명령문에 정의된 기본 논리 연산을 고려하십시오. 모두 자연어에서 사용되는 접속사에 해당합니다.

접속사

A = "논리 대수학의 창시자는 George Boole입니다.", B = "Claude Shannon의 연구는 논리 대수학을 컴퓨터 기술에 적용하는 것을 가능하게 했습니다." 분명히 "논리 대수학의 창시자는 George Boole이고 Claude Shannon의 연구는 논리 대수학을 컴퓨터 기술에 적용하는 것을 가능하게 했습니다"라는 새로운 진술은 두 초기 진술이 동시에 참인 경우에만 참입니다.

다음 기호는 접속사를 작성하는 데 사용됩니다: , , And, &. 예: A B, A B, A AND C, A&B.

접속사는 진리표라고 불리는 표로 설명될 수 있습니다.

진리표는 원래 진술(열 A 및 B)의 모든 가능한 값을 나열하고 이에 해당하는 이진수는 일반적으로 오름차순(00, 01, 10, 11)으로 정렬됩니다. 마지막 열에는 다음이 포함됩니다. 해당 피연산자에 대해 논리 연산을 수행한 결과입니다.

그렇지 않은 경우에는 논리곱을 논리곱이라고 합니다. 이유를 생각해 보세요.

분리

두 가지 진술을 고려하십시오. A = "논리에서 수학적 기호를 사용하는 아이디어는 Gottfried Wilhelm Leibniz에 속합니다.", B = "Leibniz는 이진 산술의 창시자입니다." 분명히 "논리에서 수학적 기호를 사용하는 아이디어는 Gottfried Wilhelm Leibniz에 속하거나 Leibniz는 이진 산술의 창시자입니다"라는 새로운 진술은 두 초기 진술이 동시에 거짓인 경우에만 거짓입니다.

고려된 세 가지 진술의 진실 또는 거짓을 독립적으로 확립합니다.

분리를 기록하는 데 사용되는 기호는 v, |, OR, +입니다. 예: AvB, A|B, A OR B, A+B.

분리는 다음 진리표로 정의됩니다.

그렇지 않은 경우 분리를 논리적 추가라고 합니다. 이유를 생각해 보세요.

반전

반전을 표기하는 데에는 NOT, ¬, ‾ 기호가 사용됩니다. 예: NOT, ¬, ‾.

반전은 다음 진리표로 정의됩니다.

반전은 논리적 부정이라고도 합니다.

"집에 컴퓨터가 있습니다"라는 진술의 부정은 "집에 컴퓨터가 있다는 것은 사실이 아닙니다"또는 러시아어에서도 "집에 컴퓨터가 없습니다"라는 진술이 될 것입니다. "나는 중국어를 모른다"라는 진술의 부정은 "내가 중국어를 모른다는 것은 사실이 아닙니다"또는 러시아어에서도 동일하게 "나는 중국어를 알고 있습니다"라는 진술이 될 것입니다. "모든 9학년 남학생이 우수한 학생이다"라는 진술의 부정은 "모든 9학년 남학생이 우수한 학생이라는 것은 사실이 아니다"라는 진술, 즉 "모든 9학년 남학생이 우수한 학생은 아니다"라는 진술이다. 재학생".

따라서 단순 명제에 대한 부정을 구성할 때 "...는 사실이 아니다"라는 구를 사용하거나 술어에 부정을 구성한 다음 해당 동사에 "not"이라는 입자를 추가합니다.

모든 복잡한 명령문은 논리식(논리 변수, 논리 연산 기호 및 괄호를 포함하는 식)으로 작성할 수 있습니다. 논리식의 논리연산은 반전, 접속, 분리의 순서로 수행됩니다. 괄호를 넣어 작업 순서를 변경할 수 있습니다.

예 1. A = "웹 페이지에 'cruiser'라는 단어가 나타남", B = "웹 페이지에 'battleship'이라는 단어가 나타남"이라고 하자. 5,000,000개의 웹 페이지를 포함하는 인터넷의 특정 세그먼트가 고려됩니다. 여기서 진술 A는 4800페이지에 대해 참이고, 진술 B는 4500페이지에 대해 참이며, 진술 A v B는 7000페이지에 대해 참입니다. 이 경우 다음 표현과 진술이 참인 웹 페이지는 몇 개입니까?

    a) NOT(A 또는 B);

c) 웹 페이지에 "cruiser"라는 단어가 포함되어 있고 "battleship"이라는 단어는 포함되어 있지 않습니다.

해결책. 고려되는 인터넷 부문의 모든 웹 페이지 집합을 원으로 묘사하고 그 안에 두 개의 원을 배치합니다. 그 중 하나는 진술 A가 참인 웹 페이지 집합에 해당하고 두 번째는 진술 B는 참입니다(그림 1.3).

쌀. 1.3.
웹 페이지 세트의 그래픽 표현

표현과 진술 a) - c)가 참인 웹 페이지 집합을 그래픽으로 묘사해 봅시다(그림 1.4).

쌀. 1.4.
표현 및 진술 a) - c)가 참인 웹 페이지 집합의 그래픽 표현

구성된 계획은 과제에 포함된 질문에 답하는 데 도움이 될 것입니다.

A OR B라는 표현은 7,000개의 웹 페이지에 대해 참이므로 총 5,000,000페이지에 대해 A OR B는 4,993,000개의 웹 페이지에 대해 거짓입니다. 즉, 4,993,000개의 웹 페이지에 대해 NOT (A OR B)라는 표현이 참입니다.

A v B라는 표현은 A가 참인 웹 페이지(4800)와 B가 참인 웹 페이지(4500)에 대해 참입니다. 모든 웹 페이지가 다르다면 A v B는 9300(4800 + 4500) 웹 페이지에 대해 참이 됩니다. 그러나 조건에 따라 그러한 웹 페이지는 7000개뿐이므로 2300개(9300 - 7000)개의 웹 페이지에서 두 단어가 동시에 발생합니다. 따라서 A & B라는 표현은 2300개의 웹 페이지에 해당됩니다.

진술 A가 참이고 진술 B가 동시에 거짓인 웹 페이지 수를 알아내려면 4800페이지에서 2300을 뺍니다.

고려한 진술에 해당하는 논리식을 직접 적어보세요.

Federal Center for Information and Educational Resources(http://fcoir.edu.ru/)의 웹사이트에는 정보 모듈 “Statement. 단순하고 복잡한 문장. 기본 논리 연산. 이 리소스에 익숙하면 연구 중인 주제에 대한 이해를 넓힐 수 있습니다.

1.3.3. 논리식을 위한 진리표 구축

논리 표현식의 경우 표현식에 포함된 변수의 모든 값 세트에 대해 표현식이 취하는 값을 보여주는 진리표를 작성할 수 있습니다. 진리표를 작성하려면 다음을 수행해야 합니다.

  1. count n - 표현식의 변수 수.
  2. 식의 총 논리 연산 수를 계산합니다.
  3. 괄호와 우선 순위를 고려하여 논리 연산 실행 순서를 설정합니다.
  4. 테이블의 열 수 결정: 변수 수 + 작업 수
  5. 단락 3에서 설정한 순서에 따라 변수 및 작업을 포함하여 테이블의 헤더를 채우십시오.
  6. 테이블의 행 수 결정(테이블 헤더 제외) m = 2n;
  7. 0에서 2 n - 1까지의 전체 일련의 n 비트 이진수라는 사실을 고려하여 입력 변수 세트를 작성하십시오.
  8. 설정된 순서에 따라 논리 연산을 수행하여 테이블을 열로 채웁니다.

논리식 A v A & B에 대한 진리표를 만들어 봅시다. 여기에는 두 개의 변수, 두 개의 연산이 있고 먼저 결합이 수행된 다음 분리가 수행됩니다. 테이블에는 4개의 열이 있습니다.

입력 변수 세트는 0에서 3까지의 정수이며 두 자리 이진 코드(00, 01, 10, 11)로 표시됩니다. 완성된 진리표는 다음과 같습니다.

마지막 열(결과)은 열 A와 동일합니다. 이 경우 논리식 A v A & B는 논리식 A와 동등하다고 합니다.

1.3.4. 부울 연산의 속성

논리 대수학의 기본 속성(법칙)을 고려하십시오.

논리 대수학의 법칙은 진리표를 사용하여 증명할 수 있습니다.

논리 덧셈에 대한 분배 법칙을 증명해 봅시다.

A v (B & C) = (A V B) & (A v C).

등식의 좌변과 우변의 논리식에 해당하는 열의 일치는 논리 덧셈에 대한 분배법칙의 타당성을 증명한다.


예 2. 논리식의 값 찾기 숫자 X = 0에 대해.

해결책. X = 0인 경우 다음과 같은 논리식을 얻습니다. . 논리식 0이므로< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. 논리 문제 해결

논리적 문제를 해결하는 몇 가지 방법을 고려하십시오.

작업 1. Kolya, Vasya 및 Seryozha는 여름에 할머니를 방문했습니다. 어느 날 소년 중 한 명이 실수로 할머니가 아끼던 꽃병을 깨뜨렸습니다. 누가 꽃병을 깨뜨렸느냐고 묻자 그들은 다음과 같이 대답했습니다.

Seryozha : 1) 충돌하지 않았습니다. 2) Vasya는 깨지지 않았습니다.

Vasya: 3) Seryozha는 깨지지 않았습니다. 4) Kolya는 꽃병을 부러 뜨 렸습니다.

Kolya: 5) 충돌하지 않았습니다. 6) Seryozha가 꽃병을 부러 뜨 렸습니다.

할머니는 손주 중 한 명이 두 번 모두 진실을 말했다는 것을 알고 계셨습니다. 두 번째는 그를 조커라고 부르겠습니다. 두 번 모두 거짓말을했습니다. 세 번째는 그를 교활한 사람이라고 부르고 한 번은 진실을 말했고 또 다른 때는 거짓말을했습니다. 진실한 사람, 조커, 교활한 사람의 이름은 무엇입니까? 꽃병을 깨뜨린 손자는?

해결책. K = "Kolya가 꽃병을 깨뜨렸다", B = "Vasya가 꽃병을 깨뜨렸다", C = "Seryozha가 꽃병을 깨뜨렸다"라고 가정합니다. 각 소년의 진술을 제시할 진리표를 만들어 봅시다 1 .

    1 꽃병이 한 손자에 의해 깨졌다는 사실을 고려하면 전체 테이블이 아니라 001, 010, 100 입력 변수 집합을 포함하는 조각만 컴파일할 수 있었습니다.

할머니가 손주에 대해 알고 있는 것을 기반으로 테이블에서 00, 11, 01(또는 10)의 세 가지 값 조합을 포함하는 행을 찾아야 합니다. 테이블에는 두 개의 행이 있습니다(체크 표시로 표시됨). 두 번째에 따르면 꽃병은 Kolya와 Vasya에 의해 깨졌는데 이는 조건과 모순됩니다. 발견된 첫 번째 줄에 따르면 Seryozha는 꽃병을 부수고 교활한 것으로 판명되었습니다. Vasya는 조커로 밝혀졌습니다. 진정한 손자의 이름은 Kolya입니다.

작업 2. Alla, Valya, Sima 및 Dasha는 체조 대회에 참가합니다. 팬들은 가능한 승자를 추측했습니다.

  1. Sima가 첫 번째, Valya가 두 번째입니다.
  2. Sima는 두 번째, Dasha는 세 번째입니다.
  3. Alla는 두 번째, Dasha는 네 번째가 될 것입니다.

대회가 끝난 후, 각 가정에서 진술 중 하나만 참이고 다른 하나는 거짓이라는 것이 밝혀졌습니다. 만약 그들이 모두 다른 장소에 있었다면, 각 소녀들은 대회에서 어떤 자리를 차지했습니까?

해결책. 간단한 진술을 고려하십시오.

C 1 = "심이 1위를 차지했습니다";

B 2 = "Valya가 2위를 차지했습니다.";

C 2 = "시마가 2위를 차지했습니다";

D 3 = "Dasha가 3위를 차지했습니다.";

A 2 \u003d "Alla가 2 위를 차지했습니다";

D 4 \u003d "Dasha가 4 위를 차지했습니다."

세 가지 가정 각각에서 진술 중 하나는 참이고 다른 하나는 거짓이므로 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

  1. C1 + B2 \u003d 1, C1B2 \u003d 0;
  2. C 2 + D 3 \u003d 1, C 2 D 3 \u003d 0;
  3. A 2 + D 4 \u003d 1, A 2 D 4 \u003d 0.

참인 진술의 논리적 결과는 참일 것입니다:

(C1 + B2) (C2 + D3) (A2 + D4) = 1.

분포 법칙에 따라 이 식의 왼쪽을 변환합니다.

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

C 1 C 2라는 문장은 Sima가 1위와 2위를 모두 차지했음을 의미합니다. 문제의 조건에 따라 이 진술은 거짓입니다. B 2 C 2 진술도 거짓입니다. 상수가 0인 연산 법칙을 고려하여 다음과 같이 작성합니다.

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

이 평등의 왼쪽에 대한 추가 변형과 고의적인 거짓 진술의 배제는 다음을 제공합니다.

C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 \u003d 1.

C 1 D 3 A 2 \u003d 1.

마지막 평등에서 C 1 \u003d 1, D 3 \u003d 1, A 2 \u003d 1입니다. 이것은 Sima가 1 위, Alla가 2 위, Dasha가 3 위를 차지했음을 의미합니다. 결과적으로 Valya는 4 위를 차지했습니다.

"학생을 위한 수학"(http://www.kenqyry.com/) 웹 사이트에서 논리적 문제를 해결하는 다른 방법에 대해 알 수 있을 뿐만 아니라 인터넷 올림피아드 및 해결을 위한 대회에 참가할 수 있습니다.

http://www.kaser.com/ 사이트에서 논리와 추론 기술을 개발하는 매우 유용한 Sherlock 논리 퍼즐의 데모 버전을 다운로드할 수 있습니다.

1.3.6. 논리 요소

논리 대수학은 자동 장치 설계, 정보 통신 기술용 하드웨어 및 소프트웨어 개발에 중요한 역할을 하는 수학의 한 분야입니다.

모든 정보는 고정된 개별 값 집합으로 불연속 형식으로 나타낼 수 있다는 것을 이미 알고 있습니다. 이러한 값(신호)을 처리하는 장치를 이산이라고 합니다. 이진 신호를 처리한 후 논리 연산 중 하나의 값을 출력하는 이산 변환기를 논리 소자라고 합니다.

무화과. 1.5는 논리적 곱셈, 논리적 가산, 반전을 구현하는 논리적 요소의 기호(회로)를 보여줍니다.

그림 1.5.
논리 요소

논리 요소 AND(연결자)는 논리 곱셈 연산을 구현합니다(그림 1.5, a). 이 요소의 출력 단위는 모든 입력에 단위가 있는 경우에만 나타납니다.

논리 요소 OR(disjunctor)은 논리 덧셈 연산을 구현합니다(그림 1.5, b). 하나 이상의 입력이 하나이면 요소의 출력도 하나가 됩니다.

논리 요소 NOT(인버터)은 부정 연산을 구현합니다(그림 1.5, c). 입력 요소가 O이면 출력은 1이고 그 반대도 마찬가지입니다.

이진수에 대한 연산을 수행하는 컴퓨터 장치와 데이터를 저장하는 셀은 별도의 논리 요소로 구성된 전자 회로입니다. 이러한 문제는 10~11학년을 위한 정보학 과정에서 더 자세히 논의됩니다.

실시예 3. 전자 회로를 분석해 보겠습니다. 즉, 입력에서 가능한 각 신호 세트에 대해 출력에 어떤 신호가 있어야 하는지 알아 보겠습니다.

해결책. 입력 A에서 B까지의 모든 가능한 신호 조합이 진리표에 입력됩니다. 각 신호 쌍이 논리 요소를 통과할 때 변환을 추적하고 그 결과를 테이블에 기록해 보겠습니다. 완성된 진리표는 고려된 전자 회로를 완벽하게 설명합니다.

진리표는 전자회로에 대응하는 논리식에 따라 구축될 수도 있다. 고려중인 회로의 마지막 논리 요소는 접합자입니다. 입력 L과 인버터로부터 신호를 수신합니다. 그러면 인버터는 입력 B로부터 신호를 수신합니다. 따라서,

논리 시뮬레이터(http://kpolyakov.narod.ru/prog/logic.htm)로 작업하면 논리 요소와 전자 회로를 보다 완벽하게 파악할 수 있습니다.

가장 중요한

명제는 모든 언어로 된 문장으로, 그 내용이 참인지 거짓인지 명확하게 결정될 수 있습니다.

명령문에 대해 정의된 기본 논리 연산: 반전, 연결, 분리.

기본 논리 연산의 진리표:

논리식을 평가할 때 괄호 안의 작업이 먼저 수행됩니다. 논리 연산 실행 우선 순위:

질문 및 작업

정보학 수업은 일반 교육 학교의 10학년 학생들을 위해 고안되었으며, 그 커리큘럼에는 "논리 대수"섹션이 포함되어 있습니다. 이 주제는 학생들에게 매우 어렵 기 때문에 교사로서 저는 논리 법칙을 연구하고 논리적 표현을 단순화하며 논리적 문제 해결에 관심을 가지고 접근하는 데 관심을 갖고 싶었습니다. 일반적인 형태로 이 주제에 대한 수업을 제공하는 것은 지루하고 번거롭고 일부 정의는 어린이에게 항상 명확하지 않습니다. 정보 공간 제공과 관련하여 "학습"쉘에 수업을 게시할 기회가 있었습니다. 등록한 학생들은 자유 시간에이 과정에 참석하고 수업에서 명확하지 않은 내용을 다시 읽을 수 있습니다. 질병으로 인해 수업을 놓친 일부 학생들은 집이나 학교에서 놓친 주제를 보충하고 항상 다음 수업을 준비합니다. 이러한 형태의 교육은 많은 어린이에게 매우 적합했으며, 어린이들이 이해할 수 없었던 법칙도 이제 컴퓨터 형식으로 훨씬 쉽고 빠르게 학습됩니다. 저는 ICT와 통합적으로 수행되는 이러한 정보학 수업 중 하나를 제공합니다.

강의 계획

  1. 컴퓨터를 이용한 새로운 자료 설명 - 25분.
  2. "학습"에 제시된 기본 개념 및 정의 - 10분.
  3. 호기심을 위한 자료 - 5분.
  4. 숙제 - 5분.

1. 신소재에 대한 설명

형식 논리의 법칙

생각 사이의 가장 단순하고 가장 필요한 진정한 연결은 형식 논리의 기본 법칙으로 표현됩니다. 이들은 동일성, 비모순, 배제된 중간, 충분한 이유의 법칙입니다.

이 법칙은 논리에서 특히 중요한 역할을 하기 때문에 기본적이며 가장 일반적입니다. 이를 통해 논리적 표현을 단순화하고 추론 및 증명을 구축할 수 있습니다. 위의 법칙 중 처음 세 가지 법칙은 Aristotle에 의해 식별되고 공식화되었으며 충분한 이유의 법칙은 G. Leibniz에 의해 정의되었습니다.

동일성의 법칙: 어떤 추론 과정에서 모든 개념과 판단은 그 자체로 동일해야 합니다.

모순의 법칙: 동일한 눈이 동시에 동일한 측면에서 동일한 사물에 내재되어 있거나 존재하지 않는 것은 불가능합니다. 즉, 어떤 것을 동시에 긍정하고 부정하는 것은 불가능하다.

배제된 중간의 법칙: 모순되는 두 명제 중 하나는 참이고 다른 하나는 거짓이며 세 번째는 주어지지 않는다.

충분한 이유의 법칙: 모든 참된 생각은 충분히 정당화되어야 합니다.

마지막 법칙은 어떤 것의 증명은 정확하고 오직 참된 생각의 정당화를 전제로 한다고 말합니다. 잘못된 생각은 증명할 수 없습니다. 좋은 라틴어 속담이 있습니다. 이 법은 실질적인 성격을 가지고 있기 때문에 공식이 없습니다. 참된 판단, 사실에 입각한 자료, 통계 자료, 과학 법칙, 공리, 증명된 정리는 참된 생각을 확인하는 논거로 사용될 수 있습니다.

명제 대수의 법칙

명제 대수(논리 대수)는 명제에 대한 논리적 연산과 복잡한 명제를 변환하는 규칙을 연구하는 수학적 논리의 한 부분입니다.

많은 논리적 문제를 풀 때 조건을 공식화하여 얻은 공식을 단순화해야 하는 경우가 많습니다. 명제 대수의 공식 단순화는 기본 논리 법칙을 기반으로 한 등가 변환을 기반으로 수행됩니다.

명제 대수(논리 대수)의 법칙은 동어반복입니다.

때때로 이러한 법칙을 정리라고합니다.

명제 대수학에서 논리 법칙은 등가 공식의 동등성으로 표현됩니다. 법칙 중에서 하나의 변수를 포함하는 법칙은 특히 구별됩니다.

다음 법칙 중 처음 네 가지는 명제 대수의 기본 법칙입니다.

신원법:

모든 개념과 판단은 그 자체로 동일하다.

동일성의 법칙은 추론 과정에서 한 생각을 다른 생각으로, 한 개념을 다른 생각으로 바꿀 수 없다는 것을 의미합니다. 이 법을 위반하면 논리적 오류가 발생할 수 있습니다.

예를 들어 토론 혀가 당신을 키예프로 데려다 줄 것이라고 정확히 말하지만 어제 훈제 혀를 샀으니 이제 안전하게 키예프에 갈 수 있습니다첫 번째와 두 번째 단어 "언어"가 다른 개념을 나타내기 때문에 정확하지 않습니다.

토론 중: 움직임은 영원합니다. 학교에 가는 것은 운동입니다. 그러므로 학교에 가는 것은 영원하다."운동"이라는 단어는 두 가지 다른 의미로 사용됩니다(첫 번째는 철학적 의미에서 물질의 속성으로, 두 번째는 일반적인 의미에서 공간에서 이동하는 동작으로 사용됨). 이는 잘못된 결론으로 ​​이어집니다.

모순되지 않는 법칙:

명제와 그 부정은 동시에 참이 될 수 없습니다. 즉, 진술의 경우 ㅏ참이면 그 부정 A가 아니다 false여야 합니다(반대의 경우도 마찬가지). 그러면 그들의 제품은 항상 거짓일 것입니다.

복잡한 논리식을 단순화할 때 자주 사용되는 것은 바로 이 등식입니다.

때때로 이 법칙은 다음과 같이 공식화됩니다. 서로 모순되는 두 진술은 동시에 참일 수 없습니다. 비모순법 위반의 예:

1. 화성에는 생명체가 있고 화성에는 생명체가 없습니다.

2. Olya는 고등학교를 졸업하고 10학년입니다.

배제된 중간의 법칙:

동시에 진술은 참이거나 거짓일 수 있으며 세 번째는 없습니다. 참 ㅏ,또는 A가 아닙니다.배제된 중간법의 시행 예:

1. 숫자 12345는 짝수 또는 홀수이며 세 번째는 없습니다.

2. 회사는 적자 또는 손익분기점에서 운영되고 있습니다.

3. 이 액체는 산일 수도 있고 아닐 수도 있습니다.

배제된 중간의 법칙은 논리학의 보편적인 법칙으로 모든 논리학자들이 인정하는 법칙은 아니다. 이 법칙은 지식이 엄격한 상황을 다루는 경우에 적용됩니다. 불확실성이 있는 경우(예: 미래에 대한 추론) 배제된 중간의 법칙을 종종 적용할 수 없습니다.

다음 진술을 고려하십시오. 이 제안은 거짓입니다.거짓이라고 주장하기 때문에 참일 수 없습니다. 그러나 그것이 참일 것이기 때문에 거짓일 수도 없습니다. 이 진술은 참도 거짓도 아니므로 배제된 중간의 법칙에 위배됩니다.

역설(Greek paradoxos - 뜻밖의, 이상함) 이 예에서 문장이 자신을 지칭한다는 사실에서 비롯됩니다. 또 다른 유명한 역설은 미용사 문제입니다. 한 도시에서는 미용사가 자신의 머리를 자르는 사람들을 제외한 모든 주민들의 머리를 자른다. 누가 이발사의 머리를 자르나요?논리학에서는 그 형식성 때문에 그러한 자기 지시적 진술의 형식을 얻는 것이 불가능하다. 이것은 논리 대수학의 도움으로 가능한 모든 생각과 주장을 표현하는 것이 불가능하다는 생각을 다시 한 번 확인시켜줍니다. 명제 등가의 정의에 기초하여 명제 대수학의 나머지 법칙을 어떻게 얻을 수 있는지 보여드리겠습니다.

예를 들어, 무엇을 정의하자 ㅏ(두 번 아니 ㅏ,즉 부정의 부정 ㅏ).이를 위해 진리표를 작성합니다.

등가의 정의에 따라 값이 열의 값과 일치하는 열을 찾아야 합니다. ㅏ.이것이 칼럼이 될 것이다 ㅏ.

따라서 우리는 공식화할 수 있습니다 이중법부정:

어떤 진술을 두 번 부정하면 결과는 원래 진술입니다. 예를 들어, 다음 진술은 ㅏ= 매트로스킨- 고양이말하는 것과 같다 A = 매트로스킨이 고양이가 아니라는 것은 사실이 아닙니다.

마찬가지로 다음 법칙을 도출하고 검증할 수 있습니다.

상수 속성:

멱등성의 법칙:

우리가 몇 번이나 반복하더라도: TV를 켜거나 TV를 켜거나 TV를 켜거나...문장의 의미는 변하지 않습니다. 마찬가지로 반복부터 밖은 덥고 밖은 덥고... 1도도 더 따뜻하지 않습니다.

교환성의 법칙:

A v B = B v A

A & B = B & A

피연산자 ㅏ그리고 안에분리와 결합의 작동에서 상호 교환될 수 있습니다.

연관성 법칙:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

표현식에서 분리 연산만 사용하거나 결합 연산만 사용하는 경우 괄호를 무시하거나 임의로 배열할 수 있습니다.

분배법칙:

A v (B & C) = (A v B) &(A v C)

(분배분리
결합에 관해서)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(접속사 분포
분리에 관하여)

분리에 관한 결합의 분배 법칙은 대수학의 분배 법칙과 유사하지만 결합에 대한 분배 분리의 법칙은 유사점이 없으며 논리학에서만 유효합니다. 그러므로 입증이 필요합니다. 증명은 진리표를 사용하여 수행하는 것이 가장 좋습니다.

흡수 법칙:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

흡수 법칙의 증명을 직접 수행하십시오.

드 모건의 법칙:

드 모르간(de Morgan)의 법칙의 구두 공식화:

니모닉 규칙:항등식의 왼쪽에서 부정의 연산은 전체 진술 위에 있습니다. 오른쪽에는 깨진 것처럼 보이고 각 간단한 진술 위에 부정이 있지만 동시에 작동 방식이 변경됩니다. 즉 분리에서 접속으로 또는 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

de Morgan의 법칙 실행의 예:

1) 진술 내가 아랍어나 중국어를 안다는 것은 사실이 아니다진술과 동일합니다 나는 아랍어도 모르고 중국어도 모른다.

2) 진술 내가 교훈을 얻었고 D를 받았다는 것은 사실이 아닙니다.진술과 동일합니다 수업을 배우지 않았거나 A를 받지 못한 것입니다.

암시 및 등가 연산의 교체

함축과 동등의 연산은 프로그래밍 언어의 특정 컴퓨터나 컴파일러의 논리적 연산에 포함되지 않는 경우가 있습니다. 그러나 이러한 작업은 많은 문제를 해결하는 데 필요합니다. 이러한 연산을 일련의 부정, 분리 및 결합 연산으로 대체하는 규칙이 있습니다.

그래서 교체작업 의미다음 규칙에 따라 가능합니다.

작업을 교체하려면 등가두 가지 규칙이 있습니다.

두 항등식의 오른쪽과 왼쪽에 대한 진리표를 구성하여 이러한 공식의 타당성을 쉽게 확인할 수 있습니다.

함의와 등가의 연산을 대체하는 규칙에 대한 지식은 예를 들어 함의의 부정을 올바르게 구성하는 데 도움이 됩니다.

다음 예를 고려하십시오.

다음과 같이 진술하십시오.

E = 대회에서 우승하면 상을 받는다는 것은 사실이 아닙니다.

허락하다 ㅏ= 나는 대회에서 우승할 것이다

B = 나는 상을 받을 것이다.

따라서 E = 나는 경쟁에서 이기겠지만 상을 받지는 않을 것이다.

다음 규칙도 중요합니다.

진리표를 사용하여 타당성을 증명할 수도 있습니다.

그들의 자연어 표현이 흥미롭다.

예를 들어, 문구

곰돌이 푸가 꿀을 먹으면 배가 부르다

문구와 동일합니다

곰돌이 푸가 배가 부르지 않으면 꿀을 먹지 않은 것입니다.

운동:이 규칙에 대한 문구-예제를 생각해 보십시오.

2. 기본 개념 및 정의부록 1

3. 호기심을 위한 자료부록 2

4. 숙제

1) 정보 공간(www.learning.9151394.ru)에 있는 논리 대수 과정을 사용하여 논리 법칙을 배웁니다.

2) PC에서 진리표를 구성하여 De Morgan의 법칙의 증명을 확인한다.

응용

  1. 기본 개념 및 정의(부록 1).
  2. 호기심을 위한 자료(부록 2).