두 평면의 교차선인 직선의 일반 방정식. 두 평면의 교차점으로 정의된 선 두 평면이 교차하는 선 찾기

예제 솔루션을 고려해 보겠습니다.

예.

교차하는 두 평면의 방정식을 통해 공간에 주어진 직선 위의 모든 점의 좌표를 찾습니다. .

해결책.

방정식 시스템을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

시스템의 주요 행렬의 기초 마이너로서 우리는 2차의 0이 아닌 마이너를 취합니다. 즉, z는 알 수 없는 자유 변수입니다. z가 포함된 항을 방정식의 오른쪽 부분으로 옮겨 보겠습니다.

를 받아들이자. 여기서 는 임의의 실수이고, 는 이다.

결과 방정식 시스템을 풀어 보겠습니다.

따라서 방정식 시스템의 일반적인 해는 형식은 입니다. 여기서 .

매개변수의 특정 값을 취하면 특정 직선 위에 있는 점의 원하는 좌표를 제공하는 방정식 시스템의 특정 솔루션을 얻을 수 있습니다. 그럼 가져가자 따라서 은 선의 원하는 지점입니다.

발견된 점 좌표를 교차하는 두 평면의 원래 방정식에 대입하여 확인할 수 있습니다.

답변:

두 평면이 교차하는 선의 방향 벡터입니다.

직각 좌표계에서 직선의 방향 벡터는 직선과 분리될 수 없습니다. 3차원 공간의 직각좌표계에서 직선 a가 두 교차 평면의 방정식으로 주어지면 직선의 방향 벡터의 좌표는 보이지 않습니다. 이제 이를 결정하는 방법을 보여 드리겠습니다.

우리는 선이 평면의 임의의 선에 수직일 때 그 평면에 수직이라는 것을 알고 있습니다. 그러면 평면의 법선 벡터는 이 평면에 있는 0이 아닌 벡터에 수직입니다. 직선의 방향 벡터를 찾을 때 이러한 사실을 사용할 것입니다.

선 a는 평면과 평면 모두에 있습니다. 따라서 직선 a의 방향 벡터도 법선 벡터에 수직입니다. 평면 및 법선 벡터 비행기. 따라서 선 a의 방향 벡터는 다음과 같습니다. 그리고 :

직선의 모든 방향 벡터의 집합이며 다음과 같이 설정할 수 있습니다. , 여기서 은 0이 아닌 실제 값을 취하는 매개변수입니다.

예.

두 교차 평면의 방정식을 통해 3D 공간의 Oxyz 직교 좌표계에 주어진 선의 모든 방향 벡터의 좌표를 찾습니다. .

해결책.

평면의 법선 벡터는 다음과 같습니다. 그리고 각기. 주어진 두 평면의 교차점인 직선의 방향 벡터는 법선 벡터의 벡터 곱을 취합니다.

답변:

공간에서 직선의 매개변수 및 표준 방정식으로 전환합니다.

직선을 묘사하기 위해 교차하는 두 평면의 방정식을 사용하는 것이 그리 편리하지 않은 경우가 있습니다. 일부 문제는 다음 형식의 공간에서 직선의 표준 방정식을 사용하면 해결하기가 더 쉽습니다. 또는 다음 형식의 공간에서 직선의 매개변수 방정식 여기서 x 1 , y 1 , z 1 은 선의 어떤 점의 좌표이고, a x , a y , a z 는 선의 방향 벡터의 좌표이며 임의의 실수 값을 취하는 매개변수입니다. 형식의 직접 방정식에서 전환하는 과정을 설명하겠습니다. 공간의 직선에 대한 표준 및 매개변수 방정식.

이전 단락에서 우리는 직선 위의 특정 점의 좌표를 찾는 방법과 두 개의 교차 평면의 방정식으로 제공되는 직선의 일부 방향 벡터의 좌표를 찾는 방법을 배웠습니다. 이러한 데이터는 공간의 직교 좌표계에서 이 선의 표준 방정식과 매개변수 방정식을 모두 작성하는 데 충분합니다.

예제의 해법을 고려한 후 공간에서 직선의 표준 방정식과 매개변수 방정식을 찾는 또 다른 방법을 보여 드리겠습니다.

예.

해결책.

먼저 직선의 방향 벡터의 좌표를 계산해 보겠습니다. 이를 위해 법선 벡터의 벡터 곱을 찾습니다. 그리고 비행기 그리고 :

그건, .

이제 주어진 선의 어떤 점의 좌표를 결정해 봅시다. 이를 위해 우리는 방정식 시스템에 대한 솔루션 중 하나를 찾습니다. .

결정자 가 0과 다르면 이를 시스템의 주요 매트릭스의 기본 마이너로 간주합니다. 그런 다음 변수 z는 자유로워서 항을 방정식의 오른쪽으로 옮기고 변수 z에 임의의 값을 제공합니다.

Cramer 방법을 사용하여 결과 방정식 시스템을 푼다.

따라서,

우리는 받아들입니다 , 직선 점의 좌표를 얻는 동안: .

이제 공간에서 원래 선의 필수 표준 및 매개변수 방정식을 작성할 수 있습니다.

답변:

그리고

이 문제를 해결하는 두 번째 방법은 다음과 같습니다.

직선 위의 특정 점의 좌표를 찾을 때 방정식 시스템을 해결합니다. . 일반적으로 해당 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. .

그리고 이것은 공간의 직선에 대한 원하는 매개변수 방정식입니다. 얻은 각 방정식이 매개변수에 대해 해결되고 등식의 우변이 동일해지면 공간에서 직선의 표준 방정식을 얻습니다.

이 방법으로 이전 문제의 해결 방법을 보여드리겠습니다.

예.

3차원 공간의 직선은 교차하는 두 평면의 방정식으로 표현됩니다. . 이 선의 표준 방정식과 매개변수 방정식을 작성하십시오.

해결책.

우리는 3개의 미지수를 갖는 2개의 방정식으로 구성된 이 시스템을 풉니다(해는 이전 예에 주어져 있으므로 반복하지 않겠습니다). 동시에, 우리는 얻습니다. . 이것은 공간에서 직선의 원하는 매개변수 방정식입니다.

공간에서 직선의 표준 방정식을 얻는 것이 남아 있습니다.

직선의 결과 방정식은 이전 예에서 얻은 방정식과 외부적으로 다르지만 3차원 공간에서 동일한 점 세트(따라서 동일한 직선)를 정의하므로 동일합니다.

답변:

그리고

서지.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. 고등 수학. 제1권: 선형 대수학 및 해석 기하학의 요소.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. 분석 기하학.

공간의 직선은 평행하지 않은 두 평면의 교차선, 즉 두 선형 방정식의 시스템을 만족하는 점의 집합으로 정의할 수 있습니다.

(V.5)

반대의 진술도 마찬가지입니다. 형식(V.5)의 두 개의 독립적인 선형 방정식 시스템은 직선을 평면의 교차선(평행이 아닌 경우)으로 정의합니다. 시스템 방정식(V.5)은 다음과 같습니다. 일반 방정식우주에서 바로
.

예V.12 . 평면의 일반 방정식에 의해 주어진 직선의 표준 방정식을 작성하십시오.

해결책. 직선의 표준 방정식 또는 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 작성하려면 직선 위의 두 점의 좌표를 찾아야 합니다. 예를 들어 임의의 두 좌표 평면과 직선의 교차점이 될 수 있습니다. 오이즈그리고 옥스.

평면과 선의 교차점 오이즈가로좌표가 있다
. 따라서 이 방정식 시스템에서 가정하면
, 우리는 두 가지 변수가 있는 시스템을 얻습니다.

그녀의 결정
,
함께
점을 정의합니다
원하는 직선. 이 방정식 시스템에서 가정하면
, 우리는 시스템을 얻습니다

누구의 솔루션
,
함께
점을 정의합니다
평면과 선의 교차점 옥스.

이제 우리는 점들을 통과하는 직선의 방정식을 씁니다.
그리고
:
또는
, 어디
이 직선의 방향 벡터가 됩니다.

예V.13. 직선은 표준 방정식에 의해 제공됩니다
. 이 직선의 일반 방정식을 쓰십시오.

해결책.직선의 표준 방정식은 두 개의 독립 방정식의 시스템으로 작성될 수 있습니다.



우리는 이제 두 평면의 교차점으로 주어지는 직선의 일반 방정식을 얻었습니다. 그 중 하나는 다음과 같습니다.
축에 평행 온스 (
), 그리고 나머지
– 축 OU (
).

이 선은 또 다른 독립 방정식 쌍의 형태로 표준 방정식을 작성하여 다른 두 평면의 교차선으로 표시될 수 있습니다.



논평 . 동일한 선은 두 선형 방정식의 서로 다른 시스템(즉, 한 선을 통해 수많은 평면을 그릴 수 있으므로 서로 다른 평면의 교차에 의해)뿐만 아니라 서로 다른 표준 방정식(점 선택에 따라 다름)으로 제공될 수 있습니다. 선과 그 방향 벡터) .

직선에 평행한 0이 아닌 벡터를 호출하겠습니다. 가이드 벡터 .

3차원 공간에 들어가자 주어진 직선 엘지점을 지나
, 그리고 그 방향 벡터
.

모든 벡터
, 어디
, 직선 위에 놓여 있으며 벡터와 동일선상에 있습니다. , 그래서 그들의 좌표는 비례합니다.

. (V.6)

이 방정식을 직선의 표준 방정식이라고 합니다. ﻉ가 평면인 특별한 경우에는 평면 위의 직선 방정식을 얻습니다.

. (V.7)

예V.14. 두 점을 지나는 직선의 방정식 구하기
,
.

,

어디
,
,
.

방정식 (V.6)을 매개변수 형식으로 작성하는 것이 편리합니다. 평행선의 방향 벡터의 좌표는 비례하므로

,

어디 티 - 매개변수,
.

점에서 선까지의 거리

데카르트 좌표계를 사용하는 2차원 유클리드 공간 ﻉ을 생각해 보세요. 요점을 보자
ﻉ 그리고 엘ﻉ. 이 지점에서 선까지의 거리를 구합니다. 넣어보자
, 그리고 직선 엘방정식에 의해 주어진다
(그림 V.8)

거리
, 벡터
, 어디
정규선 벡터입니다 엘,
그리고 동일선상에 있으므로 좌표가 비례합니다.
, 따라서,
,
.

여기에서
또는 이 방정식을 곱하면 됩니다. ㅏ그리고 비각각, 그리고 그것들을 합치면, 우리는 다음을 발견합니다:
, 따라서

.

(V.8)

점으로부터의 거리를 정의합니다.
똑바로
.

예V.15. 한 점을 지나는 직선의 방정식 구하기
선에 수직 엘:
그리고 거리를 구해 보세요
똑바로 엘.

그림에서. V.8이 있습니다
, 법선 벡터는 직선입니다. 엘
. 수직성 조건으로부터 우리는

왜냐하면
, 저것

. (V.9)

점을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.
, 선에 수직
.

점을 통과하는 직선(V.9)의 방정식을 세우자.
, 선에 수직 엘:
. 점으로부터의 거리를 구하라
똑바로 엘, 공식 (V.8)을 사용합니다.

원하는 거리를 찾으려면 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하면 충분합니다.
그리고 포인트
수직선의 밑면에 있는 선 위에 놓여 있습니다. 허락하다
, 그 다음에

왜냐하면
, 그리고 벡터
, 저것

. (V.11)

시점부터
직선 위에 놓여 있다 엘, 그러면 우리는 또 다른 평등을 갖게 됩니다
또는

Cramer의 방법을 적용하기에 편리한 형태로 시스템을 가져오겠습니다.

그 솔루션은 다음과 같습니다

,

. (V.12)

(V.12)를 (V.10)에 대입하면 원래 거리를 얻습니다.

예V.16. 2차원 공간에 점이 주어진다
그리고 직접
. 지점으로부터의 거리 찾기
직선으로; 한 점을 통과하는 선의 방정식을 쓰세요
주어진 직선에 수직이고 점으로부터의 거리를 구합니다.
원래 선에 수직인 밑면까지.

공식(V.8)에 따르면 다음과 같습니다.

수직선을 포함하는 직선의 방정식은 두 점을 지나는 직선으로 구할 수 있습니다.
그리고
, 공식 (V.11)을 사용합니다. 왜냐하면
, 그렇다면 그 점을 고려하여
, ㅏ
, 우리는

.

좌표를 찾으려면
우리는 요점을 고려한 시스템을 가지고 있습니다.
원래 라인에 위치

따라서,
,
, 여기에서.

3차원 유클리드 공간 ﻉ을 생각해 보세요. 요점을 보자
ﻉ 및 비행기 ﻉ. 이 지점으로부터의 거리를 구하세요.
방정식에 의해 주어진 평면 (그림 V.9).

2차원 공간과 마찬가지로,
그리고 벡터
아, 여기서부터

. (V.13)

우리는 두 점을 통과하는 직선의 방정식으로 평면 에 수직을 포함하는 직선의 방정식을 씁니다.
그리고
비행기에 누워 :

. (V.14)

점의 좌표를 찾으려면
공식(V.14)의 두 등식에 다음 방정식을 추가합니다.

세 가지 방정식(V.14), (V.15)의 시스템을 풀면 다음을 찾을 수 있습니다. ,,- 점 좌표
. 그러면 수직 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

.

한 지점으로부터의 거리를 구하려면
공식(V.13) 대신 평면으로 우리는 다음을 사용합니다.

직선의 정식 방정식

문제의 공식화. 두 평면의 교차선으로 정의된 직선의 표준 방정식 찾기(일반 방정식)

솔루션 계획. 방향 벡터가 있는 직선의 표준 방정식 이 지점을 지나 , 형식을 갖습니다.

. (1)

따라서 직선의 표준방정식을 작성하려면 직선의 방향 벡터와 직선 위의 어떤 점을 찾아야 합니다.

1. 선은 동시에 두 평면에 속하므로 방향 벡터는 두 평면의 법선 벡터와 직교합니다. 벡터 곱의 정의에 따르면, 우리는

. (2)

2. 선에서 어떤 점을 선택하십시오. 선의 방향 벡터가 적어도 하나의 좌표 평면과 평행하지 않기 때문에 선은 이 좌표 평면과 교차합니다. 따라서 선 위의 점으로 이 좌표 평면과의 교차점을 취할 수 있습니다.

3. 발견된 방향 벡터의 좌표를 대체하고 직선의 표준 방정식(1)을 가리킵니다.

논평. 벡터 곱(2)이 0이면 평면이 교차하지 않고(평행) 직선의 표준 방정식을 작성할 수 없습니다.

작업 12.직선의 표준 방정식을 작성하십시오.

직선의 표준 방정식:

,

어디 는 선 위의 임의 지점의 좌표입니다. 방향 벡터입니다.

선에서 임의의 점 찾기 . 그럼 하자

따라서, 은 선에 속하는 점의 좌표입니다.

평면 사이의 각도

방정식에 의해 각각 주어진 두 평면 α 1 및 α 2를 고려해 보겠습니다.

아래에 각도두 평면 사이에서 우리는 이들 평면에 의해 형성된 2면체 각도 중 하나를 의미합니다. 법선 벡터와 평면 α 1 및 α 2 사이의 각도는 표시된 인접한 2면체 각도 중 하나와 동일하거나 . 그렇기 때문에 . 왜냐하면 그리고 , 저것

.

예.평면 사이의 각도 결정 엑스+2와이-3지+4=0과 2 엑스+3와이+지+8=0.

두 평면의 평행도 조건.

두 평면 α 1 과 α 2 는 법선 벡터가 평행하고 평행한 경우에만 평행하며 따라서 .

따라서 해당 좌표의 계수가 비례하는 경우에만 두 평면이 서로 평행합니다.

또는

평면의 직각도 조건.

법선 벡터가 수직인 경우에만 두 평면이 수직이라는 것이 분명합니다.

따라서, .

예.

우주에서 직접.

벡터 방정식 직접.

매개변수 방정식 직접

공간에서 직선의 위치는 고정된 점 중 하나를 지정하여 완전히 결정됩니다. 중 1과 이 선에 평행한 벡터입니다.

직선에 평행한 벡터를 벡터라고 한다. 지도하다이 선의 벡터입니다.

그러니 똑바로하자 엘한 지점을 통과한다 중 1 (엑스 1 , 와이 1 , 지 1) 벡터와 평행한 직선 위에 놓여 있습니다.

임의의 점을 고려하십시오. 남(x,y,z)직선으로. 그림을 보면 알 수 있다. .

벡터와 는 동일선상에 있으므로 그러한 숫자가 있습니다. 티, 뭐야, 승수는 어디에 있어? 티점의 위치에 따라 임의의 숫자 값을 사용할 수 있습니다. 중직선으로. 요인 티매개변수라고 합니다. 점의 반경 벡터 표시 중 1과 중각각 및 를 통해 우리는 를 얻습니다. 이 방정식은 벡터직선 방정식. 각 매개변수 값을 보여줍니다. 티어떤 점의 반경 벡터에 해당 중직선으로 누워 있습니다.

우리는 이 방정식을 좌표 형식으로 씁니다. 그것을주의해라 , 그리고 여기서부터

결과 방정식은 다음과 같습니다. 파라메트릭직선 방정식.

매개변수를 변경할 때 티좌표 변경 엑스, 와이그리고 지그리고 점 중직선으로 움직입니다.

정식 방정식 직접

허락하다 중 1 (엑스 1 , 와이 1 , 지 1) - 직선 위에 놓인 점 엘, 그리고 방향 벡터입니다. 다시 한 번 직선 위의 임의의 점을 찍습니다. 남(x,y,z)그리고 벡터를 고려해보세요.

벡터와 가 동일선상에 있으므로 각각의 좌표는 비례해야 합니다.

– 표준적인직선 방정식.

비고 1.매개변수를 제거하여 매개변수 방정식에서 선의 표준 방정식을 얻을 수 있습니다. 티. 실제로, 우리가 얻은 매개변수 방정식으로부터 또는 .

예.직선의 방정식을 쓰세요 파라메트릭 방식으로.

표시하다 , 따라서 엑스 = 2 + 3티, 와이 = –1 + 2티, 지 = 1 –티.

비고 2.선이 좌표축 중 하나(예: 축)에 수직이 되도록 합니다. 황소. 그러면 선의 방향 벡터는 수직입니다. 황소, 따라서, 중=0. 결과적으로 직선의 매개변수 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

방정식에서 매개변수 제거 티, 우리는 직선의 방정식을 다음과 같은 형태로 얻습니다.

그러나 이 경우에도 우리는 공식적으로 직선의 표준 방정식을 다음 형식으로 작성하는 데 동의합니다. . 따라서 분수 중 하나의 분모가 0이면 선이 해당 좌표축에 수직임을 의미합니다.

마찬가지로, 표준 방정식 축에 수직인 직선에 해당합니다. 황소그리고 아야또는 평행축 온스.

예.

일반 방정식 두 평면의 교차선으로서의 직선

공간의 각 직선을 통해 무한한 수의 평면이 통과합니다. 교차하는 두 개는 공간에서 그것을 정의합니다. 그러므로 함께 고려되는 임의의 두 평면의 방정식은 이 선의 방정식입니다.

일반적으로 일반 방정식에 의해 주어진 두 개의 비평행 평면

교차선을 결정하십시오. 이러한 방정식은 다음과 같습니다. 일반 방정식똑바로.

예.

방정식으로 주어진 직선을 구축

선을 구성하려면 점 중 두 개를 찾는 것으로 충분합니다. 가장 쉬운 방법은 선과 좌표 평면의 교차점을 선택하는 것입니다. 예를 들어 평면과의 교차점 xOy우리는 직선의 방정식으로부터 얻습니다. 지= 0:

이 시스템을 해결하면 요점을 찾을 수 있습니다. 중 1 (1;2;0).

마찬가지로, 와이= 0, 선과 평면의 교차점을 얻습니다. xOz:

직선의 일반 방정식에서 표준 방정식 또는 매개변수 방정식으로 진행할 수 있습니다. 이렇게하려면 몇 가지 요점을 찾아야합니다. 중선의 1과 선의 방향 벡터입니다.

점좌표 중 1 우리는 이 방정식 시스템으로부터 좌표 중 하나에 임의의 값을 제공하여 얻습니다. 방향 벡터를 찾으려면 이 벡터가 두 법선 벡터에 수직이어야 합니다. 그리고 . 따라서 직선의 방향 벡터에 대해 엘법선 벡터의 외적을 취할 수 있습니다.

.

예.직선의 일반방정식을 써라. 정식 형식으로.

직선에서 한 점을 찾으세요. 이를 위해 좌표 중 하나를 임의로 선택합니다. 예를 들어 다음과 같습니다. 와이= 0이고 연립방정식을 푼다:

선을 정의하는 평면의 법선 벡터에는 좌표가 있습니다. 따라서 방향 벡터는 직선이 됩니다.

. 따라서, 엘: .

권리 사이의 각도

모서리공간의 직선 사이에서 데이터에 평행한 임의의 점을 통해 그려진 두 개의 직선으로 형성된 인접 각도를 호출합니다.

공간에 두 개의 직선이 있다고 가정합니다.

분명히 선 사이의 각도 ψ는 방향 벡터와 사이의 각도로 간주될 수 있습니다. 이후 , 그런 다음 벡터 사이의 각도의 코사인 공식에 따라 우리는 얻습니다.

작업에 필요한 두 평면의 교차선을 찾고 그 중 하나의 실제 크기를 결정합니다.평면 평행 이동 방법.

기술 기하학의 이러한 고전적 문제를 해결하려면 다음과 같은 이론적 자료를 알아야 합니다.

- 주어진 좌표에 따라 복잡한 도면에서 공간의 점 투영을 그립니다.

- 복잡한 도면에서 평면, 일반 평면 및 특정 위치를 지정하는 방법;

- 비행기의 주요 노선;

- 직선과 평면의 교차점 결정(찾기 "회의 장소");

- 평평한 도형의 자연스러운 크기를 결정하기 위한 평면 평행 이동 방법

— 경쟁 점을 사용하여 직선 및 평면 도면에 대한 가시성을 정의합니다.

문제 해결 절차

1. 점 좌표로 할당 옵션에 따라 복잡한 도면에 삼각형 형태로 지정된 두 개의 평면을 배치합니다. 알파벳(A', B', C'; A, B, C) 및 DKE(D', K', E'; D, K, E) ( 그림 1.1).

그림 1.1

2 . 교차선을 찾기 위해 우리는 다음을 사용합니다. 투영면 방법. 그 본질은 첫 번째 평면(삼각형)의 한쪽(선)이 취해져서 투영 평면에 놓여 있다는 것입니다. 이 선과 두 번째 삼각형의 평면의 교차점이 결정됩니다. 이 작업을 다시 반복하되 두 번째 삼각형의 선과 첫 번째 삼각형의 평면에 대해 두 번째 교차점을 결정합니다. 얻은 점은 두 평면에 동시에 속하므로 두 평면의 교차선 위에 있어야 합니다. 이 점들을 직선으로 연결하면 원하는 평면 교차선을 얻을 수 있습니다.

3. 문제는 다음과 같이 해결됩니다.

ㅏ)투영 평면에 포함 에프(에프')옆 AB(ㅏ’ 비’) 정면 투영 평면의 첫 번째 삼각형 V. 투영 평면과 측면의 교차점을 표시합니다. DK그리고 드두 번째 삼각형, 포인트 획득 1(1') 및 2(2'). 우리는 통신 라인을 따라 투영의 수평면으로 옮깁니다. 시간삼각형의 해당 변에 점을 찍으세요. 1 (1) 쪽 드그리고 점 2(2) 쪽 DK.

그림 1.2

비)점의 투영을 연결하여 1과 2, 우리는 투영 평면의 투영을 갖게 될 것입니다 에프. 그러면 선의 교차점은 AB삼각형 DKE의 평면은 투영 평면의 투영 교차점과 함께 (규칙에 따라) 결정됩니다. 1-2 그리고 같은 이름의 투영 AB. 따라서 우리는 평면의 첫 번째 교차점에 대한 수평 투영을 얻었습니다. 중, 이에 따라 우리는 그것의 정면 투영을 결정합니다(통신 라인을 따라 프로젝트) - 중’ 직선으로 ㅏ’ 비’ (그림 1.2.a);

V)같은 방식으로 두 번째 점을 찾습니다. 우리는 투영 평면에서 결론을 내립니다. 지(G)두 번째 삼각형의 측면 DK(DK) . 투영 평면과 첫 번째 삼각형의 측면의 교차점을 표시합니다. 교류그리고기원전수평 투영에서 점 투영 얻기 3과 4. 우리는 그것들을 정면 평면의 해당 측면에 투영합니다. 3’ 그리고 4'. 그것들을 직선으로 연결하면 투영면이 투영됩니다. 그런 다음 평면의 두 번째 교차점은 선의 교차점에 있습니다. 3’-4’ 삼각형의 측면으로 디’ 케이’ , 투영 평면에 둘러싸여 있습니다. 따라서 우리는 두 번째 교차점의 정면 투영을 얻었습니다. N’ , 통신선을 따라 수평 투영을 찾습니다. N (그림 1.2.b).

G)포인트를 연결해서 미네소타(미네소타) 그리고 (중’ N’) 수평면과 정면면에는 주어진 평면의 원하는 교차선이 있습니다.

4. 경쟁 지점의 도움으로 비행기의 가시성을 결정합니다. 예를 들어, 한 쌍의 경쟁 지점을 살펴보겠습니다. 1’=5’ 정면 투영에서. 우리는 그것들을 수평면의 해당 측면에 투영합니다. 1 그리고 5. 우리는 그 요점을 본다 1 옆으로 누워 디이자형축에 대한 큰 좌표가 있습니다 엑스점보다 5 옆으로 누워 ㅏ안에. 그러므로 더 큰 좌표의 법칙에 따르면, 그 점은 1 그리고 삼각형의 옆면 디'이자형’라는 문구가 정면에 보일 것입니다. 따라서 수평면과 정면면에서 삼각형의 각 측면의 가시성이 결정됩니다. 도면에서 보이는 선은 실선으로 그려지고, 보이지 않는 선은 점선으로 그려집니다. 평면의 교차점에서 ( 중— N 그리고중’- N’ ) 표시 여부가 변경됩니다.

그림 1.3

아르 자형그림 1.4 .

플롯은 경쟁 점을 사용하여 수평면의 가시성 정의를 추가로 보여줍니다. 3 그리고 6 직선으로 DK그리고 AB.

5. 평면 평행 변위 방법을 사용하여 삼각형 평면의 실제 크기를 결정합니다. 알파벳, 무엇을 위해:

ㅏ)점을 통과하는 지정된 평면에서 기(C)정면돌파하다 씨— 에프(와 함께-에프그리고씨’- 에프’) ;

비)수평 투영에서 도면의 자유 필드에서 임의의 점을 취합니다(표시). 1부터, 이것이 삼각형의 꼭지점 중 하나라고 가정합니다(구체적으로는 꼭지점 씨). 그것으로부터 우리는 정면 평면에 대한 수직을 복원합니다 (를 통해 x축);

그림 1.5

V)평면 평행 이동으로 삼각형의 수평 투영을 변환합니다. 알파벳, 새로운 위치로 ㅏ 1 비 1 씨 1 정면 투영에서 투영 위치(직선으로 변환)를 취하는 방식입니다. 이렇게 하려면: 지점에서 수직으로 1부터, 수평의 정면 투영을 연기합니다. 씨 1 — 에프 1 (길이 lCF) 우리는 요점을 얻습니다 에프 1 . 한 지점에서 나침반의 솔루션 F1크기 파호세리프를 만들고 한 점에서 씨 1 - 노치 크기 캘리포니아, 호선의 교차점에서 점을 얻습니다. ㅏ 1 (삼각형의 두 번째 꼭지점);

- 마찬가지로 우리는 요점을 얻습니다. 비 1 (지점에서 씨 1 크기로 한 단계를 더하다 씨— 비(57mm), 그리고 그 지점에서 에프 1 크기 에프— 비(90mm) 올바른 솔루션을 사용하면 세 개의 포인트가 ㅏ 1 에프’ 1 그리고 비’ 1 하나의 직선(삼각형의 변) 위에 놓여야 합니다. ㅏ 1 — 비 1 ) 나머지 두면 와 함께 1 — ㅏ 1 그리고 씨 1 — 비 1 정점을 연결하여 얻습니다.

G)일부 투영 평면(공액 평면)에서 점을 이동하거나 회전할 때 이 점의 투영은 직선으로, 우리의 경우 직선 평행 축을 따라 직선으로 이동해야 한다는 회전 방법을 따릅니다. 엑스. 그런 다음 점에서 그림을 그립니다. ㅏ’ 비’ 씨’ 정면 투영에서 볼 때 이는 직선(점의 회전 평면이라고 함)이고 변위된 점의 정면 투영에서 볼 수 있습니다. ㅏ 1 1에씨 1 수직(연결선) 복원( 그림 1.6).

그림 1.6

이 선과 해당 수직선의 교차점은 삼각형의 정면 투영의 새로운 위치를 제공합니다. 알파벳, 구체적으로 ㅏ’ 1 1에씨’ 1 수평이므로 돌출(직선)이 되어야 합니다. 시간 1 정면 투영 평면에 수직으로 그렸습니다( 그림 1.6);

5) 그런 다음 삼각형의 자연스러운 크기를 얻으려면 정면 투영을 수평면과 평행하게 확장하는 것으로 충분합니다. 반전은 한 점을 통과하는 나침반을 사용하여 수행됩니다. A' 1, 이를 회전 중심으로 간주하여 삼각형을 배치합니다. ㅏ’ 1 1에씨’ 1 축에 평행 엑스, 우리는 얻는다 ㅏ’ 2 2시에씨’ 2 . 위에서 언급했듯이 점이 회전하면 공액(이제 수평) 투영에서 축과 평행한 직선을 따라 이동합니다. 엑스. 점의 정면 투영에서 수직선(연결선) 생략 ㅏ’ 2 2시에씨’ 2 해당 선과 교차하면 삼각형의 수평 투영을 찾습니다. 알파벳 (ㅏ 2 2시에씨 2 ) 실제 크기( 그림 1.7).

쌀. 1.7

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